Em uma reserva natural, um estudo foi realizado sobre o crescimento populacional de uma espécie de animal dividida em três faixas etárias: jovens, adultos e idosos. As taxas de fecundidade de cada faixa etária são: Jovens (faixa 1): 0,4 filhotes por indivíduo por período. Adultos (faixa 2): 0,3 filhotes por indivíduo por período. Idosos (faixa 3): 0 filhotes. As taxas de sobrevivência para cada faixa etária são: 60 por cento das jovens sobrevivem para a faixa adulta. 50 por cento dos adultos sobrevivem para a faixa idosa. A taxa de mortalidade nos idosos em cada período considerado é de 70 por cento.
(a) Descreva este processo usando um sistema dinâmico da forma
para uma certa matriz de transição .
(b) Se a distribuição inicial da população é 300 jovens, 200 adultos e 100 idosos, qual será a distribuição da população após 10 períodos de observação?
(c) No longo prazo, esta população tende à extinção? Crescerá sem limites? Se estabiliza?
(d) Em qual período se atingirá o máximo valor da população jovem?
Passo 1
O enunciado descreve o crescimento de uma população dividida em três classes etárias (jovens, adultos, idosos) onde as fecundidades e as probabilidades de transição entre classes são dadas. Vamos modelar isso como um sistema dinâmico discreto do tipo
onde é o vetor de população nas três classes no período e é a matriz de Leslie que incorpora fecundidades e taxas de sobrevivência.
Passo 2
Montamos a matriz de transição da seguinte forma:
– A primeira linha contém as fecundidades de cada classe: jovens produzem em média filhotes, adultos , idosos .
– A segunda linha dá a fração de jovens que viram adultos: .
– A terceira linha tem a fração de adultos que viram idosos e a fração de idosos que sobrevivem e continuam idosos .
Logo,
Para (c), analisamos o autovalor dominante de A. A equação característica é
lambda^3-0.7,lambda^2-0.06,lambda+0.054=0,
cuja raiz real principal é aproximadamente lambdamaxapprox0.672<1. Como o maior autovalor em módulo é menor que 1, a população decai geometricamente até a extinção.
Passo 5
Para (d), observamos que a população jovem x1(k) é máxima em k=0, pois x1(0)=300 é maior que todos os valores subsequentes.
Resposta
(a) A=0.4&0.3&00.6&0&00&0.5&0.3
(b) X(10)approxl[4.99,;4.48,;6.07r]^T
(c) Como o autovalor dominante approx0.672<1, a população tende à extinção.
(d) A população jovem atinge o valor máximo no período k=0.