Mostre que f(x, y)=e^x cos y não possui pontos críticos;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=e^x cos y não tem pontos críticos. O conteúdo é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais e resolver ∇f(x,y)=0.

Passo 2

A primeira ação é calcular as derivadas parciais de f. Lembrando que e^x nunca é zero, temos:
$$
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(e^x\cos y)=e^x\cos y$$
$$
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(e^x\cos y)=-e^x\sin y fx(x,y)=partialpartial x(e^xcos y)=e^xcos yí
e^x\cos y=0$$
$$
-e^x\sin y=0$$
Da primeira equação, como e^x>0 para todo x, temos cos y=0, ou seja y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Da segunda, temos sin y=0, ou seja y=k\pi.

Passo 3

Note que não há valor de y que satisfaça simultaneamente cos y=0 e sin y=0. Portanto, não existe (x,y) que anule ambas as derivadas parciais.
Como o sistema ∇f=0 é impossível de resolver, concluímos que f(x,y)=e^x cos y não possui pontos críticos.

Resposta

A função não tem pontos críticos, pois o sistema ∇f(x,y)=0 não tem solução.

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