Em cada caso, encontre o valor do limite ou mostre que o limite nāo existe:
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 5 \theta}{\operatorname{sen} 7 \theta}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin 5\theta}{\sin 7\theta}.
O conteúdo principal aqui é o limite trigonométrico clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vamos usar essa propriedade para tratar a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Reescrevemos o quociente de modo a introduzir termos da forma \sin x/x:
\frac{\sin 5\theta}{\sin 7\theta} = \frac{\sin 5\theta}{5\theta}\,\frac{7\theta}{\sin 7\theta}\,\frac{5\theta}{7\theta}.
Note que conforme \theta\to 0, cada um dos dois primeiros fatores tende a 1, por causa do limite trigonométrico.

Passo 3

Tomando limite em ambos os lados, obtemos
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin 5\theta}{\sin 7\theta} =\Bigl(\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin 5\theta}{5\theta}\Bigr) \,\Bigl(\lim_{\theta\to 0}\frac{7\theta}{\sin 7\theta}\Bigr) \,\lim_{\theta\to 0}\frac{5\theta}{7\theta} =1\cdot1\cdot\frac{5}{7} =\frac{5}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{7}

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