Em cada caso, encontre o valor do limite ou mostre que o limite nāo existe:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to -1}\frac{x^3+1}{x+1}. Esse limite é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}, então precisaremos usar manipulações algébricas, em particular fatorar a soma de cubos.

Passo 2

Substituindo diretamente x=-1 no numerador e denominador, temos
x^3+1 = (-1)^3+1 = -1+1 = 0,
x+1 = -1+1 = 0,
portanto o limite assume a forma \tfrac{0}{0}, o que justifica usar fatoração para simplificar.

Passo 3

Usando a identidade de soma de cubos, a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) com a=x e b=1, obtemos
x^3+1 = (x+1)(x^2 - x + 1).
Logo, para x\neq -1,
\frac{x^3+1}{x+1} = \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x+1} = x^2 - x + 1.

Passo 4

Como a expressão simplificada x^2 - x + 1 é um polinômio contínuo, basta substituir x=-1:
\lim_{x\to -1}\bigl(x^2 - x + 1\bigr) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Resposta

3

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