Questāo 3. ( 2.0 pt ) Encontre uma equação da reta que é tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{4}{x^{2}+1} no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{4}{x^{2}+1}
no ponto (1,2).
O conteúdo envolvido é derivada de função e equação de reta tangente, que usa a fórmula
y - y_{0}=f'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x). Reescrevendo
f(x)=4\,(x^{2}+1)^{-1},
aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=4\cdot(-1)\,(x^{2}+1)^{-2}\cdot(2x) =\,-\frac{8x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x_{0}=1:
f'(1)=-\frac{8\cdot1}{(1^{2}+1)^{2}} =-\frac{8}{(2)^{2}} =-\frac{8}{4} =-2.

Passo 4

Usando a fórmula da reta tangente em (x_{0},y_{0})=(1,2):
y-2 = -2\,(x-1).
Expandindo,
y-2 = -2x +2 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x +4.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x +4.

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