Em cada caso esboce algumas curvas de nível função z=f(x, y), de modo a obter uma visualização do seu gráfico.
z=|x|-|y|

Passo 1

Resumindo, queremos desenhar as curvas de nível da função
z = f(x,y) = |x| - |y|,
isto é, para cada constante c resolver
|x| - |y| = c
no plano (x,y). Vamos usar análise por quadrantes, pois aí a expressão de |x| e |y| vira ou x ou -x, e o mesmo para y. Depois, para alguns valores de c (por exemplo -2,-1,0,1,2) traçamos as linhas resultantes.

Passo 2

Analisando quadrante a quadrante:
— Quadrante I ( x>=0, y>=0): |x|=x, |y|=y, então
x - y = c longrightarrow y = x - c
— Quadrante II ( x<=0, y>=0): |x|=-x, |y|=y, então
-x - y = c longrightarrow y = -x - c
— Quadrante III ( x<=0, y<=0): |x|=-x, |y|=-y, então
-x - (-y) = c longrightarrow y = x + c
— Quadrante IV ( x>=0, y<=0): |x|=x, |y|=-y, então
x - (-y) = c longrightarrow y = c - x

Passo 3

Curvas de nível para c=0. As quatro equações ficaram:
y = x, y = -x, y = x, y = -x
nos quadrantes I, II, III e IV, respectivamente. Ou seja, juntando tudo, temos as retas
y = x e y = -x,
que se cruzam na origem e formam um “X”.

Passo 4

Curvas de nível para
Cada uma existe só no seu quadrante, dando quatro segmentos de reta que formam um losango “aberto” em torno da origem, centrado nos pontos . Para é análogo, só desloca esses segmentos para e .

Passo 5

Curvas de nível para
que pelos mesmos quadrantes dá retas
Por exemplo, para ) temos quatro segmentos formando um losango maior, agora centrado nos pontos e , mas “virado” em relação ao caso .

Resposta

As curvas de nível de z=|x|-|y| são, para cada c:
c=0: retas y=x e y=-x.
c>0: quatro segmentos de reta paralelos a essas, deslocados para formar um losango de “raio” c.
c<0: quatro segmentos paralelos também, formando o losango complementar de “raio” |c|, rotacionado em relação ao caso c>0.
Em particular, esboçando para c=-2,-1,0,1,2 obtém-se uma família de losangos centrados na origem, crescendo e girando conforme o sinal de c.

Exercícios relacionados