Encontre o sup e inf em
de:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o conjunto
. Ou seja, estamos olhando todos os números racionais cujo quadrado é menor que 2. O objetivo é encontrar o supremo (menor limite superior) e o ínfimo (maior limite inferior) desse conjunto dentro dos números racionais (
). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites em conjuntos numéricos e como funcionam os números racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Queremos todos os racionais
cuja multiplicação por ele mesmo dá um número menor que 2. Se pensarmos em números reais, sabemos que
é exatamente o número cujo quadrado é 2. Mas atenção:
não é um número racional, ou seja, ele não pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no supremo do conjunto
dentro dos racionais. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Mesmo sabendo que
não está em
, podemos nos aproximar dele por números racionais. Portanto, o supremo de
em
é o maior número racional que, ao quadrado, ainda é menor que 2. Como podemos nos aproximar de
sem igualar, dizemos que o supremo de
é
mesmo, mas dentro dos racionais, isso significa que não existe um supremo real em
que satisfaça exatamente essa condição.
Passo 4
Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. No caso do conjunto
, que inclui todos os
tais que
, isso significa incluir tanto números positivos quanto negativos próximos a
e
. Assim, o ínfimo de
é
, seguindo a mesma lógica do supremo.
Resposta
O supremo de
em
é
e o ínfimo é
.