Encontre o sup e inf em Q de:
A1=q in Q: q^2<2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o conjunto A1 = q in Q : q^2 < 2 . Ou seja, estamos olhando todos os números racionais cujo quadrado é menor que 2. O objetivo é encontrar o supremo (menor limite superior) e o ínfimo (maior limite inferior) desse conjunto dentro dos números racionais ( Q ). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites em conjuntos numéricos e como funcionam os números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa q^2 < 2 . Queremos todos os racionais q cuja multiplicação por ele mesmo dá um número menor que 2. Se pensarmos em números reais, sabemos que raiz2 é exatamente o número cujo quadrado é 2. Mas atenção: raiz2 não é um número racional, ou seja, ele não pertence a Q .

Passo 3

Agora, vamos pensar no supremo do conjunto A1 dentro dos racionais. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Mesmo sabendo que raiz2 não está em Q , podemos nos aproximar dele por números racionais. Portanto, o supremo de A1 em Q é o maior número racional que, ao quadrado, ainda é menor que 2. Como podemos nos aproximar de raiz2 sem igualar, dizemos que o supremo de A1 é raiz2 mesmo, mas dentro dos racionais, isso significa que não existe um supremo real em Q que satisfaça exatamente essa condição.

Passo 4

Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. No caso do conjunto A1 , que inclui todos os q tais que q^2 < 2 , isso significa incluir tanto números positivos quanto negativos próximos a raiz2 e -raiz2 . Assim, o ínfimo de A1 é -raiz2 , seguindo a mesma lógica do supremo.

Resposta

O supremo de A1 em Q é raiz2 e o ínfimo é -raiz2 .

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