(2) Use os parâmetros e das coordenadas esféricas e parametrize o que é solicitado em cada item. Usando o GeoGebra (ou outro software que você preferir), plote a superfícies solicitadas. ATENÇÃO: a determinação dos intervalos de variação dos parâmetros e é essencial para parametrizar as porções abaixo indicadas.
(a) A porção da esfera no primeiro octante entre o plano e o cone
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar uma parte específica da esfera usando coordenadas esféricas, que utilizam os parâmetros (phi) e (theta). A gente também precisa determinar os intervalos de variação desses parâmetros para ficar tudo certinho. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação de coordenadas esféricas para cartesianas. Em coordenadas esféricas, as relações são:
Onde:
r é o raio (distância do ponto até a origem),
varphi é o ângulo polar (do eixo z),
theta é o ângulo azimutal (no plano xy).
No nosso caso, a esfera tem raio raiz4 = 2 , então r = 2 .
Passo 3
Agora, vamos identificar as restrições impostas pelo enunciado:
Primeiro octante: Isso significa que x , y e z são todos positivos. Em coordenadas esféricas, isso se traduz em theta variando de 0 a pi2 radianos, já que theta controla a direção no plano xy.
Entre o plano xy e o cone z = raizx^2 + y^2 : O plano xy corresponde a z = 0 , que, em coordenadas esféricas, acontece quando varphi = pi2 . Já o cone z = raizx^2 + y^2 pode ser representado em coordenadas esféricas encontrando a relação entre z , x e y .
Passo 4
Vamos agora encontrar o valor de varphi que corresponde ao cone z = raizx^2 + y^2 .
Substituindo as coordenadas esféricas na equação do cone:
z = raizx^2 + y^2 r cos varphi = raiz(r sin varphi cos theta)^2 + (r sin varphi sin theta)^2 r cos varphi = r sin varphi cos varphi = sin varphi tan varphi = 1 varphi = pi4
Então, varphi varia de pi4 (cone) até pi2 (plano xy).
Passo 5
Com todas as informações, podemos escrever a parametrização da superfície desejada. Já que r = 2 , os parâmetros varphi e theta variam conforme:
varphi in [ pi4, pi2 ] theta in [ 0, pi2 ]
Então, a parametrização fica:
x = 2 sin varphi cos theta y = 2 sin varphi sin theta z = 2 cos varphi
Resposta
A parametrização da porção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 no primeiro octante entre o plano xy e o cone z = raizx^2 + y^2 é dada por:
x = 2 sin varphi cos theta y = 2 sin varphi sin theta z = 2 cos varphi