Encontre a solução geral do sistema x^prime=A x, onde

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs x' = A,x, onde
A = 3 & -2[6pt]2 & -2
Esse é um sistema linear de ordem 2, e para resolvê-lo a gente vai usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det3-lambda & -2[4pt]2 & -2-lambda = (3-lambda)(-2-lambda) - (-2)cdot2
Calculando,
(3-lambda)(-2-lambda) = lambda^2 -lambda -6,
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det(A - lambda I) = lambda^2 -lambda -6 +4 = lambda^2 -lambda -2

Passo 3

Resolvendo lambda^2 -lambda -2 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 +82 = 1 pm 32
Assim, os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = -1

Passo 4

Agora a gente acha um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1 = 2, resolvemos
(A - 2I),v = 0
ou seja
1 & -2[4pt]2 & -4 x[4pt]y = 0
Da primeira linha vem x - 2y = 0, então podemos escolher y = 1 e x = 2. Fica
v1 = 2[4pt]1
Para lambda2 = -1, fazemos
(A + I),v = 0
ou seja
4 & -2[4pt]2 & -1 x[4pt]y = 0
Da primeira linha 4x - 2y = 0 segue y = 2x. Tomando x = 1, fica
v2 = 1[4pt]2

Passo 5

Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é
x(t) = C1 ,v1,e^2t + C2 ,v2,e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t) = C1 2[4pt]1e^2t + C2 1[4pt]2e^-t, com C1, C2 constantes.

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