Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto. X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x|+|y| \leq 1\right\}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras sobre o conjunto \;X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \;:\; |x|+|y|\le 1\}.
Vou listar exatamente o que é pedido e as informações que temos:
Pedidos:
Esboçar o conjunto X no plano \mathbb{R}^2.
Determinar a fronteira (borda) de X.
Classificar X quanto a ser: aberto, fechado, limitado e compacto.
Informação dada: a condição que define X é a inequação |x|+|y|\le 1. Não há outras restrições.
Passo 2
Interpretar geometricamente a condição |x|+|y|\le 1 e esboçar X.
A função (x,y)\mapsto |x|+|y| soma as distâncias em cada coordenada até o eixo. Para entender a forma, observe separadamente cada quadrante do plano (pois os sinais de x e y são fixos em cada quadrante e o valor absoluto desaparece com sinal):
1º quadrante (x\ge0,y\ge0): a condição vira x+y\le 1, que é a região (triangular) abaixo da reta y=1-x com x,y\ge0.
2º quadrante (x\le0,y\ge0): a condição vira -x+y\le 1, ou y\le 1+x, que é a região abaixo da reta y=1+x com x\le0,y\ge0.
3º quadrante (x\le0,y\le0): a condição vira -x-y\le 1, ou -y\le 1+x (equivalente a x+y\ge -1 com sinais), mas, de forma mais direta, é a região acima da reta y=-1-x com x,y\le0.
4º quadrante (x\ge0,y\le0): a condição vira x-y\le 1, ou y\ge x-1 com x\ge0,y\le0.
Juntando os quatro quadrantes, a fronteira onde ocorre igualdade |x|+|y|=1 consiste em quatro segmentos de reta que se unem em vértices. Esses vértices ocorrem quando uma coordenada é zero e a outra é \pm1, ou seja nos pontos (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1).
Portanto o esboço é um losango (um quadrado rotacionado de 45°, também chamado de diamante) centrado na origem com vértices nos pontos acima; X é o losango preenchido (inclui o interior e a borda).
Passo 3
Descrever as arestas do losango com equações e intervalos paramétricos (útil para desenhar com precisão).
As quatro arestas da fronteira \{|x|+|y|=1\} podem ser descritas explicitamente:
Segmento do 1º quadrante: \{(x,y): x\in[0,1],\; y=1-x\}.
Segmento do 2º quadrante: \{(x,y): x\in[-1,0],\; y=1+x\}.
Segmento do 3º quadrante: \{(x,y): x\in[-1,0],\; y=-1-x\}.
Segmento do 4º quadrante: \{(x,y): x\in[0,1],\; y=x-1\}.
O interior do losango (pontos estritamente internos) é dado por \{(x,y): |x|+|y|<1\}.
Passo 4
Determinar o interior de X e mostrar que é a região \{|x|+|y|<1\}. Explicar por que essa região é aberta.
Definição útil: o interior de X, denotado \operatorname{int}(X), é o conjunto de pontos de X que possuem uma bola aberta (no sentido euclidiano) totalmente contida em X.
Observe que a funçãof:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=|x|+|y|é contínua porque é soma de funções contínuas (x\mapsto |x| é contínua e y\mapsto |y| é contínua).
O conjunto (-\infty,1)\subset\mathbb{R} é aberto. Como f é contínua, o conjuntof^{-1}((-\infty,1))=\{(x,y): f(x,y)<1\}=\{(x,y):|x|+|y|<1\}é aberto no \mathbb{R}^2. Isso mostra que \{(x,y):|x|+|y|<1\} é um subconjunto aberto que fica dentro de X.
Todo ponto de X com |x|+|y|<1 tem uma pequena bola ao redor contida em X, logo pertence ao interior. Portanto\operatorname{int}(X)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: |x|+|y|<1\}.
Para dar uma prova mais concreta (sem usar o conceito de preimagem de conjunto aberto): se (x_0,y_0) satisfaz s:=|x_0|+|y_0|<1, então r:=1-s>0. Se um ponto (x,y) satisfaz \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2<\delta então, usando desigualdades elementares,
|x|+|y|\le |x_0|+|y_0|+|x-x_0|+|y-y_0| \le s + \sqrt{2}\,\delta.
Escolhendo \delta = r/(2\sqrt{2}) garante |x|+|y| < s + \sqrt{2}\delta = s + r/2 < 1. Logo existe uma bola euclidiana ao redor de (x_0,y_0) contida em X, confirmando que (x_0,y_0) é ponto interior.
Passo 5
Mostrar que X é fechado (ou seja, contém todos os seus pontos limite).
O conjunto (-\infty,1]\subset\mathbb{R} é fechado. Como f é contínua, a pré-imagemf^{-1}((-\infty,1])=\{(x,y): |x|+|y|\le 1\}=Xé fechada em \mathbb{R}^2. Portanto X contém todos os seus pontos limite e é fechado.
Consequência imediata: a aderência (fecho) de X é \overline{X}=X.
Passo 6
Determinar explicitamente a fronteira (borda) de X.
Por definição, a fronteira \partial X é \overline{X}\setminus\operatorname{int}(X).
Com os resultados dos passos anteriores, \overline{X}=X e \operatorname{int}(X)=\{(x,y):|x|+|y|<1\}. Assim\partial X = X\setminus\operatorname{int}(X)=\{(x,y): |x|+|y|=1\}.
Intuição: pontos com igualdade estão exatamente sobre os segmentos do losango; qualquer bola centrada num desses pontos toca tanto pontos com |x|+|y|<1 (interior) quanto pontos com |x|+|y|>1 (fora de X), por isso fazem fronteira.
Passo 7
Verificar se X é limitado e se é compacto.
Bounded (limitado): para todo (x,y)\in X tem-se |x|\le |x|+|y|\le 1 e |y|\le |x|+|y|\le 1. Portanto |x|\le1 e |y|\le1, então X\subset [-1,1]\times[-1,1]. Logo X é limitado.
Compacto: em \mathbb{R}^2 (espaço euclidiano), um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Já provamos que X é fechado e limitado, então X é compacto.
Resposta
A fronteira de X é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|+|y|=1\}. X não é aberto. X é fechado. X é limitado. X é compacto.