Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto.
X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \operatorname{sen} x \leq y \leq \cos x\right. e \left.0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \sin x \le y \le \cos x \text{ e } 0\le x\le \tfrac{\pi}{4}\}.
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados:
    • A coordenada x varia no intervalo fechado [0,\tfrac{\pi}{4}].
    • Para cada x desse intervalo, y varia entre \sin x (limite inferior) e \cos x (limite superior), com as desigualdades inclusivas ( \le).
    • Observação numérica útil: \sin 0=0, \cos 0=1; \sin(\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Além disso, no intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} vale \sin x\le\cos x.
  • Pedidos:
    1. Esboçar o conjunto X no plano.
    2. Determinar a fronteira \partial X.
    3. Classificar X quanto a: aberto, fechado, limitado, compacto.

Passo 2

Descrição geométrica / esboço (passo a passo para imaginar o desenho):
  • Para cada x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] traça-se o segmento vertical que vai de y=\sin x até y=\cos x; o conjunto X é a união de todos esses segmentos.
  • Em x=0 o segmento vertical vai de y=0 até y=1 (um segmento de reta vertical).
  • Em x=\tfrac{\pi}{4} temos \sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, logo para x=\tfrac{\pi}{4} o “segmento” reduz-se a um ponto \big(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).
  • Entre 0 e \tfrac{\pi}{4} há uma região contínua limitada abaixo pela curva y=\sin x e acima pela curva y=\cos x. Assim o esboço é uma “faixa” vertical curva, fechada lateralmente em x=0 e com ponta em x=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Determinar o interior \operatorname{int}X (isso ajuda a encontrar a fronteira):
  • Intuitivamente, pontos estritamente no interior são aqueles com 0<x<\tfrac{\pi}{4} e com \sin x<y<\cos x; esses pontos têm um pequeno disco centrado neles totalmente contido em X.
  • Formalmente:
\operatorname{int}X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0<x<\tfrac{\pi}{4},\\ \sin x<y<\cos x\}.
Explicação curta: para um ponto com 0<x<\tfrac{\pi}{4} e \sin x<y<\cos x existe uma folga positiva em distância tanto para cima quanto para baixo e para a esquerda/direita, portanto um disco pequeno fica inteiramente dentro da faixa entre \sin x e \cos x.

Passo 4

Determinar a fecho \overline{X}:
  • Vou usar uma ideia conveniente: funções (x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y-\sin x e (x,y)\mapsto \cos x - y são contínuas em \mathbb{R}^2. O conjunto [0,\tfrac{\pi}{4}] é fechado em \mathbb{R} e [0,\infty) e (-\infty,0] são fechados em \mathbb{R}.
  • Então
X=\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4}\}\cap\{(x,y)\mid y-\sin x\ge 0\}\cap\{(x,y)\mid \cos x-y\ge 0\},
interseção de fechados, portanto X é fechado.
  • Logo \overline{X}=X.

Passo 5

Determinar a fronteira \partial X usando \partial X=\overline{X}\setminus\operatorname{int}X:
  • Como \overline{X}=X, temos
\partial X = X\setminus\operatorname{int}X.
  • Escrevendo explicitamente os pontos em que alguma desigualdade vira igualdade ou a condição em x está na extremidade:
\partial X= \big\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\\ y=\sin x\big\} \cup \big\{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\\ y=\cos x\big\} \cup \big\{(0,y)\mid 0\le y\le 1\big\}.
  • Observação: o caso x=\tfrac{\pi}{4} com \sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} está já incluído nas duas primeiras famílias (é o ponto (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2})). Assim a fronteira é a união da curva inferior y=\sin x no intervalo x\in[0,\tfrac{\pi}{4}], da curva superior y=\cos x no mesmo intervalo e do segmento vertical em x=0 entre y=0 e y=1.

Passo 6

Verificar que X não é aberto:
  • Um conjunto é aberto se todo ponto dele tem um disco pequeno inteiro contido no conjunto. Pontos da fronteira não satisfazem isso.
  • Como X contém seus pontos de fronteira (por definição das desigualdades com \le e do intervalo fechado para x), não é aberto (pois pontos como (0,\tfrac12) ou (\tfrac{\pi}{8},\sin(\tfrac{\pi}{8})) não têm disco totalmente contido em X).

Passo 7

Verificar que X é limitado:
  • Para (x,y)\in X temos 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} e 0\le y\le 1 (porque \sin x\ge 0 e \cos x\le 1 nesse intervalo).
  • Portanto \|(x,y)\|\le \sqrt{\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^2+1^2}, logo X está contido em um disco de raio finito. Assim X é limitado.

Passo 8

Concluir sobre compacidade:
  • No espaço \mathbb{R}^2, pelo teorema de Heine–Borel, um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado.
  • Já mostramos que X é fechado (Passo 4) e limitado (Passo 7). Logo X é compacto.

Passo 9

Resumo final (para fixar mentalmente antes de ver a resposta direta):
  • Esboço: faixa entre y=\sin x e y=\cos x para x\in[0,\tfrac{\pi}{4}], com um segmento vertical em x=0 e ponta em \big(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).
  • Fronteira: união da curva inferior y=\sin x, da curva superior y=\cos x (ambas para 0\le x\le\tfrac{\pi}{4}) e do segmento vertical em x=0 entre y=0 e y=1.
  • Classificação: não é aberto, é fechado, é limitado e, portanto, é compacto.

Resposta

\partial X= \{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\\ y=\sin x\} \cup \{(x,y)\mid 0\le x\le\tfrac{\pi}{4},\\ y=\cos x\} \cup \{(0,y)\mid 0\le y\le 1\}.
X não é aberto.
X é fechado.
X é limitado.
X é compacto.

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