Em cada caso esboce o conjunto X do plano \mathbb{R}^{2} e determine sua fronteira. Classifique X em: aberto, fechado, limitado, compacto. X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \operatorname{sen} x \leq y \leq \cos x\right. e \left.0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}\right\}.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \sin x \le y \le \cos x \text{ e } 0\le x\le \tfrac{\pi}{4}\}.
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Dados:
A coordenada x varia no intervalo fechado [0,\tfrac{\pi}{4}].
Para cada x desse intervalo, y varia entre \sin x (limite inferior) e \cos x (limite superior), com as desigualdades inclusivas (\le).
Observação numérica útil: \sin 0=0, \cos 0=1; \sin(\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Além disso, no intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} vale \sin x\le\cos x.
Pedidos:
Esboçar o conjunto X no plano.
Determinar a fronteira \partial X.
Classificar X quanto a: aberto, fechado, limitado, compacto.
Passo 2
Descrição geométrica / esboço (passo a passo para imaginar o desenho):
Para cada x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] traça-se o segmento vertical que vai de y=\sin x até y=\cos x; o conjunto X é a união de todos esses segmentos.
Em x=0 o segmento vertical vai de y=0 até y=1 (um segmento de reta vertical).
Em x=\tfrac{\pi}{4} temos \sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, logo para x=\tfrac{\pi}{4} o “segmento” reduz-se a um ponto \big(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).
Entre 0 e \tfrac{\pi}{4} há uma região contínua limitada abaixo pela curva y=\sin x e acima pela curva y=\cos x. Assim o esboço é uma “faixa” vertical curva, fechada lateralmente em x=0 e com ponta em x=\tfrac{\pi}{4}.
Passo 3
Determinar o interior \operatorname{int}X (isso ajuda a encontrar a fronteira):
Intuitivamente, pontos estritamente no interior são aqueles com 0<x<\tfrac{\pi}{4} e com \sin x<y<\cos x; esses pontos têm um pequeno disco centrado neles totalmente contido em X.
Explicação curta: para um ponto com 0<x<\tfrac{\pi}{4} e \sin x<y<\cos x existe uma folga positiva em distância tanto para cima quanto para baixo e para a esquerda/direita, portanto um disco pequeno fica inteiramente dentro da faixa entre \sin x e \cos x.
Passo 4
Determinar a fecho \overline{X}:
Vou usar uma ideia conveniente: funções (x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y-\sin x e (x,y)\mapsto \cos x - y são contínuas em \mathbb{R}^2. O conjunto [0,\tfrac{\pi}{4}] é fechado em \mathbb{R} e [0,\infty) e (-\infty,0] são fechados em \mathbb{R}.
Observação: o caso x=\tfrac{\pi}{4} com \sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} está já incluído nas duas primeiras famílias (é o ponto (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2})). Assim a fronteira é a união da curva inferior y=\sin x no intervalo x\in[0,\tfrac{\pi}{4}], da curva superior y=\cos x no mesmo intervalo e do segmento vertical em x=0 entre y=0 e y=1.
Passo 6
Verificar que X não é aberto:
Um conjunto é aberto se todo ponto dele tem um disco pequeno inteiro contido no conjunto. Pontos da fronteira não satisfazem isso.
Como X contém seus pontos de fronteira (por definição das desigualdades com \le e do intervalo fechado para x), não é aberto (pois pontos como (0,\tfrac12) ou (\tfrac{\pi}{8},\sin(\tfrac{\pi}{8})) não têm disco totalmente contido em X).
Passo 7
Verificar que X é limitado:
Para (x,y)\in X temos 0\le x\le \tfrac{\pi}{4} e 0\le y\le 1 (porque \sin x\ge 0 e \cos x\le 1 nesse intervalo).
Portanto \|(x,y)\|\le \sqrt{\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^2+1^2}, logo X está contido em um disco de raio finito. Assim X é limitado.
Passo 8
Concluir sobre compacidade:
No espaço \mathbb{R}^2, pelo teorema de Heine–Borel, um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado.
Já mostramos que X é fechado (Passo 4) e limitado (Passo 7). Logo X é compacto.
Passo 9
Resumo final (para fixar mentalmente antes de ver a resposta direta):
Esboço: faixa entre y=\sin x e y=\cos x para x\in[0,\tfrac{\pi}{4}], com um segmento vertical em x=0 e ponta em \big(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big).
Fronteira: união da curva inferior y=\sin x, da curva superior y=\cos x (ambas para 0\le x\le\tfrac{\pi}{4}) e do segmento vertical em x=0 entre y=0 e y=1.
Classificação: não é aberto, é fechado, é limitado e, portanto, é compacto.