Em cada caso, esboce a região de integração dada em coordenadas polares e calcule a integral:
(a) \iint_{D} x y d A, onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
(b) \iint_{R}(x+y) d A, onde R=\left\{(x, y) ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right.\} e \left\{0 \leq y \leq x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais duplas em coordenadas polares. No item (a) temos o disco de centro na origem e raio 3, e no item (b) uma coroa circular com 1\le r\le2 sujeita à condição 0\le y\le x. Para resolver vamos usar a transformação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta
e descrever corretamente os limites de r e \theta em cada caso.

Passo 2

Para (a) temos
D = \{(r,\theta)\mid 0\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi\},
o integrando é xy = r^2\cos\theta\sin\theta e o jacobiano traz mais um fator r, então a integral fica
\iint_{D}xy\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}r^2\cos\theta\sin\theta\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{3}r^3\,dr.

Passo 3

A parte angular é
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0
porque \cos\theta\sin\theta é função de média zero num período inteiro. Logo a integral total em (a) vale zero.

Passo 4

No item (b) a coroa é
1\le r\le 2,
e a condição 0\le y\le x em polares dá y\ge0\Rightarrow0\le\theta\le\pi e \tan\theta\le1\Rightarrow\theta\le\pi/4 (na faixa [0,\pi]), sobrando
0\le\theta\le\frac{\pi}{4}.
O integrando é x+y = r\cos\theta + r\sin\theta e com o jacobiano obtemos
\iint_{R}(x+y)\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\!\int_{1}^{2} \bigl(r\cos\theta + r\sin\theta\bigr)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta\;\int_{1}^{2}r^2\,dr.

Passo 5

Calculamos separadamente:
a parte radial
\int_{1}^{2}r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3},
e a parte angular
\int_{0}^{\pi/4}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta =\Bigl[\sin\theta - \cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/4} =(\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2})-(0-1)=1.
Multiplicando dá \tfrac{7}{3}.

Resposta

(a) \,0
(b) \displaystyle \frac{7}{3}

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