Em cada caso, esboce a região de integração dada em coordenadas polares e calcule a integral:
(a)
, onde
é o disco com centro na origem e raio 3 .
(b)
, onde
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas integrais duplas em coordenadas polares. No item (a) temos o disco de centro na origem e raio 3, e no item (b) uma coroa circular com
sujeita à condição
. Para resolver vamos usar a transformação
e descrever corretamente os limites de
e
em cada caso.
Passo 2
Para (a) temos
o integrando é
e o jacobiano traz mais um fator
, então a integral fica
Passo 3
A parte angular é
porque
é função de média zero num período inteiro. Logo a integral total em (a) vale zero.
Passo 4
No item (b) a coroa é
e a condição
em polares dá
e
(na faixa
), sobrando
O integrando é
e com o jacobiano obtemos
Passo 5
Calculamos separadamente:
a parte radial
a parte radial
e a parte angular
Multiplicando dá
.
Resposta
(a)
(b)
(b)