Calcular as seguintes integrais de caminho \int_{\alpha} f(x, y, z) d s, onde:
f(x, y, z)=x \cos z \mathrm{e} \alpha(t)=\left(t, t^{2}, 0\right), t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de caminho
\int_{\alpha}f(x,y,z)\,ds
com f(x,y,z)=x\cos z e \alpha(t)=(t,t^2,0), t\in[0,1]. Trata-se de uma integral de linha de função escalar, em que precisamos parametrizar a curva, calcular o elemento de arco ds e substituir f\circ\alpha.

Passo 2

Calcular o elemento de arco ds. Como \alpha'(t)=(1,2t,0), temos
ds=\|\alpha'(t)\|\,dt =\sqrt{1+(2t)^2+0}\,dt =\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 3

Avaliar a função f em \alpha(t). Como x=t e z=0, resulta
f(\alpha(t))=t\cos0=t.

Passo 4

Montar a integral paramétrica:
\int_{\alpha}f\,ds =\int_{0}^{1}t\,\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 5

Resolver a integral por substituição. Defina u=1+4t^2, então du=8t\,dt e t\,dt=\tfrac{du}{8}. Logo,
\int_{0}^{1}t\sqrt{1+4t^2}\,dt =\int_{u(0)=1}^{u(1)=5}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).

Resposta

\frac{5\sqrt{5}-1}{12}.

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