Calcule as seguintes integrais:
(a)
.
(b)
.
(c)
, onde
e
.
(d)
, onde
é limitada por
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais iteradas ou duplas. Vamos usar o Teorema de Fubini para trocar integração de ordem quando for útil, além de técnicas de substituição e de integração por partes para avaliar as integrais em uma variável. Nos itens (a) e (d) faremos primeiro a integração em
ou em
conforme indicado, no (b) usaremos substituição
e, no (c), faremos integração em
seguida de integração em
por partes.
Passo 2
(a)
.
Integramos em :
Integramos em
Agora em
:
Passo 3
(b)
.
A integral em é simples:
A integral em
Logo
Fazemos
,
, logo
. Assim
Passo 4
(c)
, com
.
Integramos primeiro em :
Integramos primeiro em
Agora
Usamos partes:
,
,
,
.
Avalia de
a
:
Passo 5
(d)
, com
limitado por
e
.
As curvas se intersectam em ou
. No intervalo
,
.
Montamos
As curvas se intersectam em
Montamos
Integramos em
:
Agora
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)