Calcule as seguintes integrais:
(a) \int_{2}^{4} \int_{-1}^{1}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.
(b) \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}(2 x+y)^{8} d x d y.
(c) \int_{\pi}^{2 \pi} \int_{4}^{7} r d r d \theta.
(d) \iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} d A, onde R=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1 e -3 \leq y \leq 3\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais duplas em retângulos ou em coordenadas polares. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para separar integrais iteradas e, no caso (c), usar a forma de área em coordenadas polares dA = r\,dr\,d\theta. Vamos em cada parte usar integração iterada.

Passo 2

Para (a) \displaystyle \int_{2}^{4}\!\int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx, primeiro integramos em y:
\int_{-1}^{1}(x^{2}+y^{2})\,dy = \int_{-1}^{1}x^{2}\,dy + \int_{-1}^{1}y^{2}\,dy = x^{2}\bigl[y\bigr]_{-1}^{1} + \bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} = 2x^{2} + \tfrac{1 - (-1)}{3} = 2x^{2} + \tfrac{2}{3}.
Agora integramos em x:
\int_{2}^{4}\bigl(2x^{2} + \tfrac{2}{3}\bigr)\,dx = 2\!\int_{2}^{4}x^{2}\,dx + \tfrac{2}{3}\!\int_{2}^{4}1\,dx = 2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{4} + \tfrac{2}{3}(4-2) = \tfrac{112}{3} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{116}{3}.

Passo 3

Para (b) \displaystyle \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}(2x+y)^{8}\,dx\,dy, use mudança u=2x+y, du=2\,dx:
\int_{0}^{2}(2x+y)^{8}\,dx = \tfrac12\int_{u=y}^{u=y+4}u^{8}\,du = \tfrac{1}{18}\Bigl[(y+4)^{9}-y^{9}\Bigr].
Logo a integral dupla vira
\int_{0}^{1}\tfrac{1}{18}\bigl[(y+4)^{9}-y^{9}\bigr]\,dy = \tfrac{1}{18}\Bigl[\int_{4}^{5}t^{9}\,dt - \int_{0}^{1}y^{9}\,dy\Bigr] = \tfrac{1}{18}\Bigl[\tfrac{5^{10}-4^{10}}{10} - \tfrac{1}{10}\Bigr] = \frac{5^{10}-4^{10}-1}{180}.
Substituindo 5^{10}=9765625 e 4^{10}=1048576, dá
\frac{9765625 - 1048576 - 1}{180} = \frac{8717048}{180} = \frac{2179262}{45}.

Passo 4

Para (c) em coordenadas polares \displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}\!\int_{4}^{7}r\,dr\,d\theta:
\int_{4}^{7}r\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{4}^{7} = \tfrac{49-16}{2} = \tfrac{33}{2},
e depois
\int_{\pi}^{2\pi}\tfrac{33}{2}\,d\theta = \tfrac{33}{2}(2\pi-\pi) = \tfrac{33\pi}{2}.

Passo 5

Para (d) \displaystyle \iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA com R = \{0\le x\le1,\,-3\le y\le3\}, integramos em y primeiro:
\int_{-3}^{3}y^{2}\,dy = 2\int_{0}^{3}y^{2}\,dy = 2\cdot\tfrac{27}{3} = 18,
logo a dupla fica
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,18\,dx = 18\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazendo u=x^{2}+1, du=2x\,dx:
18\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = 9\int_{1}^{2}\frac{du}{u} = 9\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = 9\ln 2.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{116}{3}
(b) \displaystyle \tfrac{2179262}{45}
(c) \displaystyle \tfrac{33\pi}{2}
(d) \displaystyle 9\ln 2

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