Calcule as seguintes integrais:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
, onde
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais duplas em retângulos ou em coordenadas polares. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini para separar integrais iteradas e, no caso (c), usar a forma de área em coordenadas polares
. Vamos em cada parte usar integração iterada.
Passo 2
Para (a)
, primeiro integramos em
:
Agora integramos em
:
Passo 3
Para (b)
, use mudança
,
:
Logo a integral dupla vira
Substituindo
e
, dá
Passo 4
Para (c) em coordenadas polares
:
e depois
Passo 5
Para (d)
com
, integramos em
primeiro:
logo a dupla fica
Fazendo
,
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)