Calcule as seguintes integrais triplas:
(a) \iiint_{E}\left(x z-y^{3}\right) d V, onde E=\{(x, y, z) ;-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2 e 0 \leq z \leq 1\}.
(b) \int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{x+z} 6 x z d y d x d z.
(c) \iiint_{E} 2 x d V, onde E=\left\{(x, y, z) ; 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}\right.\} e \left.\{0 \leq z \leq y\right\}.

Passo 1

O exercício pede o cálculo de três integrais triplas distintas. Vamos usar o Teorema de Fubini para trocar ordem de integração, linearidade da integral para separar termos e, quando possível, simetria do domínio para anular integrais de funções ímpares.

Passo 2

Para (a) note que
\iiint_{E}(x z - y^{3})\,dV =\iiint_{E}x z\,dV \;-\;\iiint_{E}y^{3}\,dV,
onde E é o paralelepípedo -1\le x\le1,\;0\le y\le2,\;0\le z\le1.
  1. Como xz é ímpar em x e o intervalo de x é simétrico,
\iiint_{E}x z\,dV =\Bigl(\int_{-1}^{1}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}z\,dz\Bigr) =0.
  1. Para y^3 não há dependência em x,z, então
\iiint_{E}y^{3}\,dV =\Bigl(\int_{-1}^{1}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}y^{3}\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr) =2\cdot\Bigl[\tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2}\cdot1 =2\cdot4=8.
Logo o resultado é 0-8=-8.

Passo 3

Para (b)
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{z}\!\int_{0}^{x+z}6\,x\,z\,dy\,dx\,dz.
  1. Integramos em y, pois o integrando não depende de y:
\int_{0}^{x+z}6\,x\,z\,dy =6\,x\,z\,(x+z).
  1. Agora em x:
\int_{0}^{z}6\,x\,z\,(x+z)\,dx =6\,z\int_{0}^{z}(x^{2}+z\,x)\,dx =6\,z\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{z\,x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{z} =6\,z\Bigl(\tfrac{z^{3}}{3}+\tfrac{z^{3}}{2}\Bigr) =5\,z^{4}.
  1. Finalmente em z:
\int_{0}^{1}5\,z^{4}\,dz =5\Bigl[\tfrac{z^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =1.

Passo 4

Para (c)
\iiint_{E}2\,x\,dV, \quad E=\{0\le y\le2,\;0\le x\le\sqrt{4-y^{2}},\;0\le z\le y\}.
  1. Integramos em z:
\int_{0}^{y}2\,x\,dz =2\,x\,y.
  1. Integramos em x:
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}2\,x\,y\,dx =y\Bigl[x^{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} =y\,(4-y^{2}).
  1. Integramos em y:
\int_{0}^{2}(4\,y-y^{3})\,dy =\Bigl[2\,y^{2}-\tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} =8-4=4.

Resposta

(a) -8
(b) 1
(c) 4

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