Calcule as seguintes integrais triplas:
(a)
, onde
e
.
(b)
.
(c)
, onde
e
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O exercício pede o cálculo de três integrais triplas distintas. Vamos usar o Teorema de Fubini para trocar ordem de integração, linearidade da integral para separar termos e, quando possível, simetria do domínio para anular integrais de funções ímpares.
Passo 2
Para (a) note que
onde
é o paralelepípedo
.
- Como
é ímpar em e o intervalo de é simétrico,
- Para
não há dependência em , então
Logo o resultado é
.
Passo 3
Para (b)
- Integramos em
, pois o integrando não depende de :
- Agora em
:
- Finalmente em
:
Passo 4
Para (c)
- Integramos em
:
- Integramos em
:
- Integramos em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)