Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{2}^{5} r^{2} \operatorname{sen} \varphi d r d \varphi d \theta
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Esboçar o sólido descrito pelos limites de integração.
Informações dadas (retiradas do próprio enunciado):
Limites para \theta: 0 a 2\pi.
Limites para \varphi: 0 a \pi.
Limites para r: 2 a 5.
Integrando: r^{2}\operatorname{sen}\varphi.
Nada mais foi fornecido (não há figura enviada). A próxima etapa é interpretar o que esses limites descrevem no espaço e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Interpretação geométrica e esboço do sólido (explicação passo a passo, estilo amigo tentando deixar leve).
Em coordenadas esféricas, a variável r é a distância do ponto à origem, \varphi é o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo z), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
Os limites r\in[2,5] significam que a distância ao centro varia entre 2 e 5: isso é uma casca esférica (um “esfera oca”) com raio interno 2 e raio externo 5.
Os limites \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi] cobrem todos os ângulos possíveis: ou seja, o sólido é a casca esférica completa ao redor da origem (não é apenas um cone nem um segmento angular).
Esboço mental (como desenhar rápido na prova): desenhe duas esferas concêntricas (uma pequena de raio 2, outra maior de raio 5). A região sólida do problema é o material entre as duas esferas (a casca entre elas).
Resumo em uma frase: o sólido é a casca esférica completa entre as esferas de raios 2 e 5.
Passo 3
Por que o integrando é r^{2}\operatorname{sen}\varphi e o que isso significa (aula rápida e intuitiva).
Em coordenadas esféricas, um elemento de volume (pequeno cubinho curvo) não é simplesmente dr\,d\varphi\,d\theta. Há um fator de ajuste (jacobiano) que transforma as diferenças angulares e radiais em comprimentos e, consequentemente, em volume.
Intuição geométrica: ao fixar r, um pequeno incremento d\varphi corresponde a um arco de comprimento aproximadamente r\,d\varphi. Um pequeno incremento d\theta em torno do eixo, numa latitude a distância r\sin\varphi do eixo z, tem comprimento aproximadamente r\sin\varphi\,d\theta. O incremento radial é dr.
Multiplicando essas três dimensões aproximadas dá o volume do pequeno paralelepípedo curvo:
dV \approx (dr)\,(r\,d\varphi)\,(r\sin\varphi\,d\theta) = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Portanto o integrando r^{2}\operatorname{sen}\varphi está justamente transformando a integral angular-radial no volume padrão em \mathbb{R}^{3}. Assim a integral pedida é o volume da casca esférica (porque integrando dV sobre a região obtemos volume).
Passo 4
Estratégia de cálculo (separação das integrais).
A integral é iterada mas, pelo produto das variáveis, pode-se separar em produto de três integrais simples: