Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{2}^{5} r^{2} \operatorname{sen} \varphi d r d \varphi d \theta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar o sólido descrito pelos limites de integração.
  • Calcular a integral
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{5} r^{2}\operatorname{sen}\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta.
Informações dadas (retiradas do próprio enunciado):
  • Limites para \theta: 0 a 2\pi.
  • Limites para \varphi: 0 a \pi.
  • Limites para r: 2 a 5.
  • Integrando: r^{2}\operatorname{sen}\varphi.
Nada mais foi fornecido (não há figura enviada). A próxima etapa é interpretar o que esses limites descrevem no espaço e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Interpretação geométrica e esboço do sólido (explicação passo a passo, estilo amigo tentando deixar leve).
  • Em coordenadas esféricas, a variável r é a distância do ponto à origem, \varphi é o ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo z), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Os limites r\in[2,5] significam que a distância ao centro varia entre 2 e 5: isso é uma casca esférica (um “esfera oca”) com raio interno 2 e raio externo 5.
  • Os limites \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi] cobrem todos os ângulos possíveis: ou seja, o sólido é a casca esférica completa ao redor da origem (não é apenas um cone nem um segmento angular).
  • Esboço mental (como desenhar rápido na prova): desenhe duas esferas concêntricas (uma pequena de raio 2, outra maior de raio 5). A região sólida do problema é o material entre as duas esferas (a casca entre elas).
Resumo em uma frase: o sólido é a casca esférica completa entre as esferas de raios 2 e 5.

Passo 3

Por que o integrando é r^{2}\operatorname{sen}\varphi e o que isso significa (aula rápida e intuitiva).
  • Em coordenadas esféricas, um elemento de volume (pequeno cubinho curvo) não é simplesmente dr\,d\varphi\,d\theta. Há um fator de ajuste (jacobiano) que transforma as diferenças angulares e radiais em comprimentos e, consequentemente, em volume.
  • Intuição geométrica: ao fixar r, um pequeno incremento d\varphi corresponde a um arco de comprimento aproximadamente r\,d\varphi. Um pequeno incremento d\theta em torno do eixo, numa latitude a distância r\sin\varphi do eixo z, tem comprimento aproximadamente r\sin\varphi\,d\theta. O incremento radial é dr.
  • Multiplicando essas três dimensões aproximadas dá o volume do pequeno paralelepípedo curvo:
dV \approx (dr)\,(r\,d\varphi)\,(r\sin\varphi\,d\theta) = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Portanto o integrando r^{2}\operatorname{sen}\varphi está justamente transformando a integral angular-radial no volume padrão em \mathbb{R}^{3}. Assim a integral pedida é o volume da casca esférica (porque integrando dV sobre a região obtemos volume).

Passo 4

Estratégia de cálculo (separação das integrais).
  • A integral é iterada mas, pelo produto das variáveis, pode-se separar em produto de três integrais simples:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{5} r^{2}\operatorname{sen}\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta = \left(\int_{2}^{5} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right).
  • Vou calcular cada uma dessas integrais de forma bem pedacinho, só com contas que dá para fazer sem calculadora.

Passo 5

Calcular a integral radial \displaystyle \int_{2}^{5} r^{2}\,dr.
  • Aplicando a primitivação básica: \displaystyle \int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3}.
  • Avaliando entre 2 e 5:
\int_{2}^{5} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{2}^{5} = \frac{5^{3}-2^{3}}{3} = \frac{125-8}{3} = \frac{117}{3} = 39.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi: \displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\varphi \, d\varphi.
  • A primitiva de \operatorname{sen}\varphi é -\cos\varphi.
  • Avaliando de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\varphi \, d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi -\bigl(-\cos0\bigr) = -(-1) - ( -1) = 1+1 = 2.
(ou de forma mais direta: a área sob \sin\varphi de 0 a \pi é 2.)

Passo 7

Calcular a integral em \theta: \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta.
  • Essa é trivial: integral de 1 num intervalo de comprimento 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Combinar os resultados (multiplicação dos fatores obtidos).
  • Reunindo:
\left(\int_{2}^{5} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) = 39 \cdot 2 \cdot 2\pi.
  • Multiplicando: 39\cdot 2 = 78, e 78\cdot 2\pi = 156\pi.

Resposta

156\pi

Exercícios relacionados