Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{3-r^{2}} r d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{3-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Calcular essa integral.
Informações fornecidas pelas linhas de integração (pegas diretamente do enunciado):
  • \theta varia em 0 até 2\pi.
  • r varia em 0 até \sqrt{3}.
  • z varia em 0 até 3-r^{2}.
  • O integrando é r e o elemento é r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Interpretando as desigualdades que definem a região (sem resolver ainda): a região E em coordenadas cilíndricas está definida por
0 \le \theta \le 2\pi,\qquad 0 \le r \le \sqrt{3},\qquad 0 \le z \le 3-r^{2}.
Ou seja, para cada direção \theta completa, r vai do centro até a circunferência de raio \sqrt{3}, e para cada r fixo, z vai do plano z=0 até a superfície z=3-r^{2}.

Passo 3

Explicação didática do que representa r\,dz\,dr\,d\theta (por que há o fator r):
  • Em coordenadas cartesianas o elemento de volume é dV = dx\,dy\,dz.
  • Em coordenadas polares no plano xy (que combinadas com z viram coordenadas cilíndricas), um pequeno retângulo com lados dr e comprimento aproximado r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta. Dessa forma o elemento de volume em cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Portanto a integral dada é precisamente a integral de volume da região E. Em palavras simples: estamos somando pequenas “caixinhas” de volume com base r\,dr\,d\theta e altura dz.

Passo 4

Como esboçar o sólido (passo a passo, para você desenhar na prova):
  1. Desenhe o eixo z vertical e um plano horizontal para z=0.
  2. No plano z=0 desenhe um círculo de raio \sqrt{3} (centro na origem). Isso vem de igualar a superfície superior a zero: 3-r^{2}=0 \Rightarrow r=\sqrt{3}.
  3. No eixo z marque o ponto z=3 (é o vértice da superfície superior em r=0).
  4. Desenhe uma “cúpula” suave (paraboloide) que tem vértice em (0,0,3) e vai cortando o plano z=0 na circunferência de raio \sqrt{3}. A equação dessa superfície em cilíndricas é z=3-r^{2}, que em cartesianas é z=3-(x^{2}+y^{2}).
    Resultado visual: um sólido tipo “boné” paraboloidal, fechado por baixo pelo plano z=0 e por cima pela parábola de revolução z=3-r^{2}.

Passo 5

Começando a calcular a integral: integrar primeiro em z.
A integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{3-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando a parte interna em z:
\int_{0}^{3-r^{2}} r\,dz = r\big[z\big]_{0}^{3-r^{2}} = r(3-r^{2}).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}} r(3-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Expandindo e preparando para integrar em r:
r(3-r^{2}) = 3r - r^{3}.
Agora integramos em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}} (3r - r^{3})\,dr = \left[\tfrac{3}{2}r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{3}}.
Calcule os termos em r=\sqrt{3}:
r^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3,\qquad r^{4}=3^{2}=9.
Substituindo:
\tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{1}{4}\cdot 9 = \tfrac{9}{2} - \tfrac{9}{4} = \tfrac{9}{4}.
Logo após integrar em r obtemos a constante \tfrac{9}{4} (independente de \theta).

Passo 7

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{9}{4}\,d\theta = \tfrac{9}{4}\int_{0}^{2\pi} d\theta = \tfrac{9}{4}\cdot 2\pi.
Esse é o valor final antes de simplificar a fração.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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