Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral
- Calcular essa integral.
Informações fornecidas pelas linhas de integração (pegas diretamente do enunciado):
-
varia em até . -
varia em até . -
varia em até . - O integrando é
e o elemento é .
Passo 2
Interpretando as desigualdades que definem a região (sem resolver ainda): a região
em coordenadas cilíndricas está definida por
Ou seja, para cada direção
completa,
vai do centro até a circunferência de raio
, e para cada
fixo,
vai do plano
até a superfície
.
Passo 3
Explicação didática do que representa
(por que há o fator
):
- Em coordenadas cartesianas o elemento de volume é
. - Em coordenadas polares no plano
(que combinadas com viram coordenadas cilíndricas), um pequeno retângulo com lados e comprimento aproximado tem área aproximada . Dessa forma o elemento de volume em cilíndricas é
- Portanto a integral dada é precisamente a integral de volume da região
. Em palavras simples: estamos somando pequenas “caixinhas” de volume com base e altura .
Passo 4
Como esboçar o sólido (passo a passo, para você desenhar na prova):
- Desenhe o eixo
vertical e um plano horizontal para . - No plano
desenhe um círculo de raio (centro na origem). Isso vem de igualar a superfície superior a zero: . - No eixo
marque o ponto (é o vértice da superfície superior em ). - Desenhe uma “cúpula” suave (paraboloide) que tem vértice em
e vai cortando o plano na circunferência de raio . A equação dessa superfície em cilíndricas é , que em cartesianas é .
Resultado visual: um sólido tipo “boné” paraboloidal, fechado por baixo pelo planoe por cima pela parábola de revolução .
Passo 5
Começando a calcular a integral: integrar primeiro em
.
A integral é
A integral é
Integrando a parte interna em
:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Expandindo e preparando para integrar em
:
Agora integramos em
:
Calcule os termos em
:
Substituindo:
Logo após integrar em
obtemos a constante
(independente de
).
Passo 7
Agora integrar em
:
Esse é o valor final antes de simplificar a fração.