Usando a regra da cadeia, determine y^{\prime}, sendo:
y=x^{2} e^{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar y' da função
y = x^2 \, e^{x^2+1}
usando a regra da cadeia. Vamos precisar também da regra do produto, pois y é um produto de duas funções.

Passo 2

Definimos
u = x^2
e
v = e^{x^2+1}.
Assim, y = u\,v. Pela regra do produto:
y' = u' \, v + u \, v'.

Passo 3

Calculamos u' e v'. Como u = x^2,
u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.
Para v, escrevemos v = e^{g(x)} com g(x) = x^2 + 1. Pela regra da cadeia,
g'(x) = 2x,
v' = g'(x)\,e^{g(x)} = 2x \, e^{x^2+1}.

Passo 4

Substituindo em
y' = 2x \, e^{x^2+1} + x^2 \,\bigl(2x \, e^{x^2+1}\bigr)
e fatorando 2x \, e^{x^2+1}, obtemos
y' = 2x \, e^{x^2+1} \,(1 + x^2).

Resposta

y' = 2x \, e^{x^2+1} \,(x^2 + 1).

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