Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se escreva “a função pedida” na forma mais simples e que se dê o domínio da função resultante. Vou assumir (sem perguntar) que a função pedida é a composição
. Os dados que temos:
-
. - Precisa-se encontrar
na forma mais simples e determinar o domínio de .
Passo 2
Lembrando o que significa composição: para duas aplicações de
seguidas,
é definida por substituir
por
na expressão de
. Ou seja,
Importante sobre domínio: para que
esteja definida é necessário que
-
esteja definida (ou seja, não pode anular denominadores em ); - o valor
não pode fazer o denominador da expressão externa ser zero (ou seja, ).
Vamos verificar essas restrições enquanto calculamos.
Passo 3
Primeiro identifiquemos o domínio de
(pré-requisito). A expressão
tem denominador
, então
não está definida quando
. Logo o domínio de
é
Passo 4
Agora calculamos explicitamente
substituindo
na fórmula:
Vamos simplificar numerador e denominador separadamente.
Numerador:
Calcule o numerador da fração:
portanto o numerador simplificado é
Denominador:
Calcule o numerador da fração:
portanto o denominador simplificado é
Passo 5
Colocando numerador e denominador juntos:
Aqui aparece o fator
tanto no numerador quanto no denominador; como estamos considerando apenas
tais que
(ou seja,
), é legítimo cancelar o fator
e o
. Assim obtemos a forma simplificada
Passo 6
Ainda precisamos checar a condição extra
(para garantir que a aplicação externa esteja definida). Vamos ver se existe
na qual
. Resolva
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso só é permitido se
, já considerado), obtemos
Isto leva a
o que é uma contradição. Portanto não existe
(com
) tal que
. Conclui-se que a única restrição de domínio para
é a mesma de
:
.
Resposta
Domínio: