Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se f(x)=\frac{1-x}{x+1}, então

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede que se escreva “a função pedida” na forma mais simples e que se dê o domínio da função resultante. Vou assumir (sem perguntar) que a função pedida é a composição f(f(x)). Os dados que temos:
  • f(x)=\dfrac{1-x}{x+1}.
  • Precisa-se encontrar f(f(x)) na forma mais simples e determinar o domínio de f\circ f.

Passo 2

Lembrando o que significa composição: para duas aplicações de f seguidas, f(f(x)) é definida por substituir x por f(x) na expressão de f. Ou seja,
f(f(x))=\frac{1-f(x)}{f(x)+1}.
Importante sobre domínio: para que f(f(x)) esteja definida é necessário que
  1. f(x) esteja definida (ou seja, x não pode anular denominadores em f);
  2. o valor f(x) não pode fazer o denominador da expressão externa ser zero (ou seja, f(x)\neq -1).
    Vamos verificar essas restrições enquanto calculamos.

Passo 3

Primeiro identifiquemos o domínio de f (pré-requisito). A expressão f(x)=\dfrac{1-x}{x+1} tem denominador x+1, então f não está definida quando x+1=0. Logo o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente f(f(x)) substituindo f(x) na fórmula:
f(f(x))=\frac{1-\dfrac{1-x}{x+1}}{\dfrac{1-x}{x+1}+1}.
Vamos simplificar numerador e denominador separadamente.
Numerador:
1-\dfrac{1-x}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1-x}{x+1}=\dfrac{(x+1)-(1-x)}{x+1}.
Calcule o numerador da fração:
(x+1)-(1-x)=x+1-1+x=2x,
portanto o numerador simplificado é
\dfrac{2x}{x+1}.
Denominador:
\dfrac{1-x}{x+1}+1=\dfrac{1-x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{(1-x)+(x+1)}{x+1}.
Calcule o numerador da fração:
(1-x)+(x+1)=1-x+x+1=2,
portanto o denominador simplificado é
\dfrac{2}{x+1}.

Passo 5

Colocando numerador e denominador juntos:
f(f(x))=\frac{\dfrac{2x}{x+1}}{\dfrac{2}{x+1}}=\dfrac{2x}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{2}.
Aqui aparece o fator \dfrac{x+1}{1} tanto no numerador quanto no denominador; como estamos considerando apenas x tais que x+1\neq 0 (ou seja, x\neq -1), é legítimo cancelar o fator \dfrac{x+1}{1} e o 2. Assim obtemos a forma simplificada
f(f(x))=x\qquad\text{(para todo \(x\) com \(x\neq -1\)).}

Passo 6

Ainda precisamos checar a condição extra f(x)\neq -1 (para garantir que a aplicação externa esteja definida). Vamos ver se existe x na qual f(x)=-1. Resolva
\frac{1-x}{x+1}=-1.
Multiplicando ambos os lados por x+1 (lembrando que isso só é permitido se x\neq -1, já considerado), obtemos
1-x=-(x+1)=-x-1.
Isto leva a
1-x=-x-1\quad\Rightarrow\quad 1=-1,
o que é uma contradição. Portanto não existe x (com x\neq -1) tal que f(x)=-1. Conclui-se que a única restrição de domínio para f(f(x)) é a mesma de f: x\neq -1.

Resposta

f(f(x))=x para todo x tal que x\neq -1.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}

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