Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se f(x)=4 x^{2}-3 x+2, então obtenha g(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=4x^{2}-3x+2 e pede que se construa a função
g(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Lista do que foi dado e do que se pede:
  • Dado: f(x)=4x^{2}-3x+2.
  • Parâmetro/constante: a (assume-se um número real fixo).
  • Variável da nova função: h.
  • Pedido: escrever g(h) na forma mais simples possível e informar o domínio de g.

Passo 2

Primeiro calculemos f(a+h). Substituir x=a+h em f(x):
f(a+h)=4(a+h)^{2}-3(a+h)+2.
Agora desenvolver o quadrado e distribuir os termos passo a passo:
(a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2},
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4(a+h)^{2}=4a^{2}+8ah+4h^{2}.
Também
-3(a+h)=-3a-3h.
Somando tudo:
f(a+h)=4a^{2}+8ah+4h^{2}-3a-3h+2.

Passo 3

Agora escrevemos a diferença f(a+h)-f(a). Primeiro escrevemos f(a):
f(a)=4a^{2}-3a+2.
Subtraindo termo a termo:
f(a+h)-f(a)=(4a^{2}+8ah+4h^{2}-3a-3h+2)-(4a^{2}-3a+2).
Eliminando termos iguais e organizando:
\begin{aligned} f(a+h)-f(a)&=4a^{2}+8ah+4h^{2}-3a-3h+2-4a^{2}+3a-2\\\ &=8ah+4h^{2}-3h. \end{aligned}

Passo 4

Observe que todos os termos do numerador têm fator h. Fatorando h:
f(a+h)-f(a)=h(8a+4h-3).
Agora inserimos isso na definição de g(h):
g(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{h(8a+4h-3)}{h}.
Para h\neq0 podemos cancelar o fator h no numerador e denominador, ficando a forma simplificada da expressão:
g(h)=8a+4h-3\qquad\text{(para \(h\neq0\)).}

Passo 5

Análise do domínio. A definição original de g(h) contém divisão por h, portanto h=0 não está permitido originalmente. Assim, o domínio natural da função dada por essa expressão é
\{h\in\mathbb{R}\mid h\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Observação adicional (útil para prova): a expressão simplificada 8a+4h-3 admite valor em h=0 igual a 8a-3, então a singularidade em h=0 é removível — mas, a menos que se especifique que se estende g por continuidade em h=0, o domínio permanece h\neq0.

Resposta

g(h)=8a+4h-3 \
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}

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