Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se f(\theta)=\frac{\theta-1}{\theta+1}, então g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(-\theta)}{1+f(\theta) f(-\theta)}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(\theta)=\frac{\theta-1}{\theta+1}
e pede que se escreva, na forma mais simples, a função
g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(-\theta)}{1+f(\theta)f(-\theta)}
e que se informe o domínio da função resultante. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão de f(\theta) tem um denominador \theta+1, portanto f(\theta) não está definida quando \theta=-1.
  • Para f(-\theta) será necessário substituir -\theta em f, o que pode introduzir outras restrições (por exemplo -\theta+1=0 quando \theta=1).
  • Ao simplificar g(\theta) é preciso acompanhar todas as restrições de domínio vindas das expressões originais e das operações algébricas (como divisões por zero).

Passo 2

Calcular f(-\theta) explicitamente substituindo -\theta em f:
f(-\theta)=\frac{-\theta-1}{-\theta+1}.
Agora simplificar essa fração. Observe que multiplicando numerador e denominador por -1 não altera o valor (desde que não se esteja dividindo por zero), então
f(-\theta)=\frac{-1(\theta+1)}{-1(\theta-1)}=\frac{\theta+1}{\theta-1}.
Portanto
f(-\theta)=\frac{\theta+1}{\theta-1},
válido quando \theta\neq 1 (para evitar divisão por zero no denominador \theta-1).

Passo 3

Montar o numerador de g(\theta):
\text{num}=f(\theta)-f(-\theta)=\frac{\theta-1}{\theta+1}-\frac{\theta+1}{\theta-1}.
Para subtrair frações, usar denominador comum (\theta+1)(\theta-1)=\theta^{2}-1. Colocando no mesmo denominador:
\text{num}=\frac{(\theta-1)^2-(\theta+1)^2}{\theta^{2}-1}.
Calcular as quadraturas:
(\theta-1)^2=\theta^{2}-2\theta+1,\qquad (\theta+1)^2=\theta^{2}+2\theta+1.
Subtraindo:
(\theta-1)^2-(\theta+1)^2=(\theta^{2}-2\theta+1)-(\theta^{2}+2\theta+1)=-4\theta.
Logo
\text{num}=\frac{-4\theta}{\theta^{2}-1}.
Note que esse passo exige \theta\neq\pm1 para que o denominador \theta^{2}-1 não seja zero; entretanto, essas restrições serão verificadas globalmente ao final.

Passo 4

Calcular o denominador de g(\theta):
\text{den}=1+f(\theta)f(-\theta)=1+\frac{\theta-1}{\theta+1}\cdot\frac{\theta+1}{\theta-1}.
Na multiplicação as frações simplificam (desde que \theta\neq\pm1 para evitar zeros nos denominadores):
\frac{\theta-1}{\theta+1}\cdot\frac{\theta+1}{\theta-1}=1.
Portanto
\text{den}=1+1=2.
É importante observar que a simplificação para 1 exige que ambos \theta+1 e \theta-1 sejam diferentes de zero, ou seja \theta\neq\pm1.

Passo 5

Agora formar g(\theta) como quociente \dfrac{\text{num}}{\text{den}}:
g(\theta)=\frac{-4\theta/(\theta^{2}-1)}{2}.
Dividindo por 2 equivale a multiplicar por 1/2, então
g(\theta)=-\frac{4\theta}{\theta^{2}-1}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{2\theta}{\theta^{2}-1}.
Uma forma alternativa, removendo o sinal negativo do numerador, é
g(\theta)=\frac{2\theta}{1-\theta^{2}},
que é algebricamente equivalente.

Passo 6

Determinar o domínio final. Restrições encontradas:
  • Da definição original de f(\theta): \theta\neq -1.
  • Da definição de f(-\theta): \theta\neq 1.
  • Na simplificação final aparece denominador \theta^{2}-1=(\theta-1)(\theta+1), que exige \theta\neq\pm1.
    Não houve cancelamento que removesse essas restrições (o numerador tem fator \theta, mas isto não cancela \theta\pm1). Portanto o domínio da função resultante é todos os reais exceto \theta=\pm1.

Resposta

g(\theta)=-\dfrac{2\theta}{\theta^{2}-1}=\dfrac{2\theta}{1-\theta^{2}}\n
\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}

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