Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se escreva, na forma mais simples, a função
e que se informe o domínio da função resultante. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão de
tem um denominador , portanto não está definida quando . - Para
será necessário substituir em , o que pode introduzir outras restrições (por exemplo quando ). - Ao simplificar
é preciso acompanhar todas as restrições de domínio vindas das expressões originais e das operações algébricas (como divisões por zero).
Passo 2
Calcular
explicitamente substituindo
em
:
Agora simplificar essa fração. Observe que multiplicando numerador e denominador por
não altera o valor (desde que não se esteja dividindo por zero), então
Portanto
válido quando
(para evitar divisão por zero no denominador
).
Passo 3
Montar o numerador de
:
Para subtrair frações, usar denominador comum
. Colocando no mesmo denominador:
Calcular as quadraturas:
Subtraindo:
Logo
Note que esse passo exige
para que o denominador
não seja zero; entretanto, essas restrições serão verificadas globalmente ao final.
Passo 4
Calcular o denominador de
:
Na multiplicação as frações simplificam (desde que
para evitar zeros nos denominadores):
Portanto
É importante observar que a simplificação para
exige que ambos
e
sejam diferentes de zero, ou seja
.
Passo 5
Agora formar
como quociente
:
Dividindo por
equivale a multiplicar por
, então
Uma forma alternativa, removendo o sinal negativo do numerador, é
que é algebricamente equivalente.
Passo 6
Determinar o domínio final. Restrições encontradas:
- Da definição original de
: . - Da definição de
: . - Na simplificação final aparece denominador
, que exige .
Não houve cancelamento que removesse essas restrições (o numerador tem fator, mas isto não cancela ). Portanto o domínio da função resultante é todos os reais exceto .