Se f(x)=\ln x, verifique que:
f\left(\frac{u}{v}\right)+f\left(\frac{v}{u}\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\ln x e pede para verificar a igualdade
f\!\left(\frac{u}{v}\right)+f\!\left(\frac{v}{u}\right)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\ln x.
  • A expressão envolve \dfrac{u}{v} e \dfrac{v}{u}.
    Condição importante (implícita pela definição do logaritmo natural): os argumentos do logaritmo devem ser positivos, ou seja, deve valer u>0 e v>0.
    O que se pede: demonstrar que, sob essas condições, a soma indicada é igual a zero.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas do logaritmo natural que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • Definição e domínio: \ln x é o logaritmo natural de x, definido para x>0. Ou seja, só se pode aplicar \ln a números positivos.
  • Propriedade de produto: para a>0 e b>0 vale
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Explicação curta dessa propriedade: se \ln a = A e \ln b = B, então e^A=a e e^B=b. Logo ab=e^{A}e^{B}=e^{A+B}, e tomando \ln dos dois lados obtemos \ln(ab)=A+B=\ln a+\ln b.
  • A propriedade de quociente decorre da propriedade de produto: para a>0 e b>0
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b.
Justificativa: \dfrac{a}{b}=a\cdot\frac{1}{b} e \ln\!\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln b (pois \ln 1=0 e \ln(b\cdot\frac{1}{b})=\ln 1=0=\ln b+\ln\!\left(\frac{1}{b}\right), daí \ln\!\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln b). Portanto \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a+\ln\!\left(\frac{1}{b}\right)=\ln a-\ln b.

Passo 3

Aplicando a propriedade do quociente aos termos da soma:
f\!\left(\frac{u}{v}\right)=\ln\!\left(\frac{u}{v}\right)=\ln u-\ln v,
f\!\left(\frac{v}{u}\right)=\ln\!\left(\frac{v}{u}\right)=\ln v-\ln u.
Essas igualdades usam diretamente \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b com a=u,\\ b=v e com a=v,\\ b=u.

Passo 4

Somando as duas expressões obtidas:
f\!\left(\frac{u}{v}\right)+f\!\left(\frac{v}{u}\right)=(\ln u-\ln v)+(\ln v-\ln u).
Agrupando termos semelhantes (ou simplesmente observando que \ln u aparece com sinais opostos):
(\ln u-\ln v)+(\ln v-\ln u)=\ln u-\ln v+\ln v-\ln u=0.
Portanto a soma é nula, como desejado.

Passo 5

Outra forma rápida de ver a mesma coisa (atalho útil na prova): note que \dfrac{v}{u}=\dfrac{1}{(u/v)}. Como \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x, tem-se
\ln\!\left(\frac{v}{u}\right)=-\ln\!\left(\frac{u}{v}\right),
logo a soma \ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)+\ln\!\left(\dfrac{v}{u}\right) é \ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)-\ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=0.
Dica para a prova: reconhecer rapidamente que x e 1/x têm logaritmos opostos costuma economizar tempo.

Resposta

f\!\left(\frac{u}{v}\right)+f\!\left(\frac{v}{u}\right)=0

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