Se
, verifique que:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A expressão envolve
e .
Condição importante (implícita pela definição do logaritmo natural): os argumentos do logaritmo devem ser positivos, ou seja, deve valere .
O que se pede: demonstrar que, sob essas condições, a soma indicada é igual a zero.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas do logaritmo natural que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
- Definição e domínio:
é o logaritmo natural de , definido para . Ou seja, só se pode aplicar a números positivos. - Propriedade de produto: para
e vale
Explicação curta dessa propriedade: se
e
, então
e
. Logo
, e tomando
dos dois lados obtemos
.
- A propriedade de quociente decorre da propriedade de produto: para
e
Justificativa:
e
(pois
e
, daí
). Portanto
.
Passo 3
Aplicando a propriedade do quociente aos termos da soma:
Essas igualdades usam diretamente
com
e com
.
Passo 4
Somando as duas expressões obtidas:
Agrupando termos semelhantes (ou simplesmente observando que
aparece com sinais opostos):
Portanto a soma é nula, como desejado.
Passo 5
Outra forma rápida de ver a mesma coisa (atalho útil na prova): note que
. Como
, tem-se
logo a soma
é
.
Dica para a prova: reconhecer rapidamente que e
têm logaritmos opostos costuma economizar tempo.
Dica para a prova: reconhecer rapidamente que