Se f(x)=\ln x, verifique que:
f\left(x^{2}\right)=2 f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\ln x.
A tarefa é verificar a igualdade
f\left(x^{2}\right)=2 f(x)
para os valores de x em que f está definida (ou seja, para \;x>0\;). Vou listar claramente as informações que temos:
  • Função: f(x)=\ln x.
  • Domínio implícito: \;x>0\; (pois \ln x só está definida para x>0).
  • O que pedir: mostrar que, para todo x>0,
f\left(x^{2}\right)=2f(x).

Passo 2

Lembrete importante sobre a função \ln: ela é a função logarítmica natural e é a função inversa da exponencial e^{t}. Isso significa duas propriedades-chave que vamos usar:
  • Para todo y\in\mathbb{R} vale \ln\bigl(e^{y}\bigr)=y.
  • Para todo x>0 vale e^{\ln x}=x.
Essas propriedades vêm da definição de função inversa: se g é a inversa de h, então g(h(t))=t e h(g(s))=s quando os argumentos estão no domínio apropriado. No caso, g=\ln e h=e^{(\cdot)}.

Passo 3

Agora procedemos com a demonstração passo a passo. Comece definindo
y=\ln x,
o que, pelas propriedades acima, implica
x=e^{y}.
Elevar x ao quadrado dá
x^{2}=(e^{y})^{2}.
Usando a lei dos expoentes (e^{y})^{2}=e^{2y}, obtemos
x^{2}=e^{2y}.

Passo 4

Aplicamos a função f (ou seja, \ln) em x^{2}:
f\bigl(x^{2}\bigr)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)=\ln\bigl(e^{2y}\bigr).
Como \ln é a inversa de e^{(\cdot)}, temos \ln\bigl(e^{2y}\bigr)=2y. Portanto
f\bigl(x^{2}\bigr)=2y.

Passo 5

Voltando da substituição y=\ln x, concluímos
f\bigl(x^{2}\bigr)=2y=2\ln x=2f(x).
Observação final: como começou, tudo vale para \;x>0\;, que é o domínio de f.

Resposta

f\bigl(x^{2}\bigr)=2f(x) para todo x>0.

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