Se
, verifique que:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
.
A tarefa é verificar a igualdade
A tarefa é verificar a igualdade
para os valores de
em que
está definida (ou seja, para
). Vou listar claramente as informações que temos:
- Função:
. - Domínio implícito:
(pois só está definida para ). - O que pedir: mostrar que, para todo
,
Passo 2
Lembrete importante sobre a função
: ela é a função logarítmica natural e é a função inversa da exponencial
. Isso significa duas propriedades-chave que vamos usar:
- Para todo
vale . - Para todo
vale .
Essas propriedades vêm da definição de função inversa: se
é a inversa de
, então
e
quando os argumentos estão no domínio apropriado. No caso,
e
.
Passo 3
Agora procedemos com a demonstração passo a passo. Comece definindo
o que, pelas propriedades acima, implica
Elevar
ao quadrado dá
Usando a lei dos expoentes
, obtemos
Passo 4
Aplicamos a função
(ou seja,
) em
:
Como
é a inversa de
, temos
. Portanto
Passo 5
Voltando da substituição
, concluímos
Observação final: como começou, tudo vale para
, que é o domínio de
.