Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se
e
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede que, para cada operação/composição pedida, se escreva a função resultante na forma mais simples e se determine o domínio dessa função. As informações fornecidas são:
-
. -
.
As perguntas implícitas (as operações que vou resolver) são:
-
, -
, -
, -
, -
(ou seja, ), -
(ou seja, ).
Passo 2
Relembrando os domínios individuais (isso é crucial para combinar funções):
- A função
exige que o argumento do logaritmo seja positivo, então o domínio de é . - A função
é um polinômio e está definida para todos os reais, então o domínio de é .
Quando fazemos soma, subtração ou produto de funções, o domínio da função resultante é a interseção dos domínios das funções envolvidas (porque precisamos que ambas estejam definidas no mesmo
). Quando fazemos divisão
, além de exigir que ambas estejam definidas, precisamos também excluir pontos onde o denominador é zero. Para composição
(isto é,
), o domínio são os
tais que
esteja no domínio de
.
Passo 3
Calcular
e determinar seu domínio:
- Expressão:
.
Isto é apenas a soma termo a termo. - Domínio: como
só existe para e existe para todo real, a interseção é . Portanto o domínio é .
Passo 4
Calcular
e determinar seu domínio:
- Expressão:
. - Domínio: mesma lógica da soma; domínio é a interseção
.
Passo 5
Calcular
e determinar seu domínio:
- Expressão:
. - Domínio: produto exige que ambos existam; portanto domínio é
.
Passo 6
Calcular
e determinar seu domínio:
- Expressão:
. - Domínio: precisa-se de
tal que esteja definida ( ) e . Como já não pertence ao domínio de , não há exclusão adicional aqui. Portanto o domínio é .
Passo 7
Calcular
(isto é,
) e determinar seu domínio:
- Expressão antes de simplificar:
. - Simplificação cuidadosa: para usar a identidade
é preciso que . Aqui e exigimos . Assim, para pode-se escrever . Não se pode aplicar essa simplificação para porque do número negativo ou zero não está definido nos reais. - Domínio: exigir que
, isto é, . Logo o domínio é . - Forma mais simples (válida no domínio):
, para .
Passo 8
Calcular
(isto é,
) e determinar seu domínio:
- Expressão:
. - Domínio: exige-se que
esteja definida, isto é, . Não há restrição adicional porque qualquer número real pode ser elevado ao cubo. Logo o domínio é . - Forma mais simples:
, para .