Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se f(x)=\ln x e g(x)=x^{3}, então

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que, para cada operação/composição pedida, se escreva a função resultante na forma mais simples e se determine o domínio dessa função. As informações fornecidas são:
  • f(x)=\ln x.
  • g(x)=x^{3}.
As perguntas implícitas (as operações que vou resolver) são:
  • f+g,
  • f-g,
  • f\cdot g,
  • \dfrac{f}{g},
  • f\circ g (ou seja, f(g(x))),
  • g\circ f (ou seja, g(f(x))).

Passo 2

Relembrando os domínios individuais (isso é crucial para combinar funções):
  • A função \,f(x)=\ln x\, exige que o argumento do logaritmo seja positivo, então o domínio de f é \,(0,\infty).
  • A função \,g(x)=x^{3}\, é um polinômio e está definida para todos os reais, então o domínio de g é (-\infty,\infty).
Quando fazemos soma, subtração ou produto de funções, o domínio da função resultante é a interseção dos domínios das funções envolvidas (porque precisamos que ambas estejam definidas no mesmo x). Quando fazemos divisão \dfrac{f}{g}, além de exigir que ambas estejam definidas, precisamos também excluir pontos onde o denominador é zero. Para composição f\circ g (isto é, f(g(x))), o domínio são os x tais que g(x) esteja no domínio de f.

Passo 3

Calcular (f+g)(x) e determinar seu domínio:
  • Expressão: (f+g)(x)=\ln x + x^{3}.
    Isto é apenas a soma termo a termo.
  • Domínio: como \ln x só existe para x>0 e x^{3} existe para todo real, a interseção é (0,\infty). Portanto o domínio é (0,\infty).

Passo 4

Calcular (f-g)(x) e determinar seu domínio:
  • Expressão: (f-g)(x)=\ln x - x^{3}.
  • Domínio: mesma lógica da soma; domínio é a interseção (0,\infty).

Passo 5

Calcular (f\cdot g)(x) e determinar seu domínio:
  • Expressão: (f\cdot g)(x)=x^{3}\ln x.
  • Domínio: produto exige que ambos existam; portanto domínio é (0,\infty).

Passo 6

Calcular \dfrac{f}{g}(x) e determinar seu domínio:
  • Expressão: \dfrac{f}{g}(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3}}.
  • Domínio: precisa-se de x tal que \ln x esteja definida ( x>0) e x^{3}\neq0. Como x=0 já não pertence ao domínio de \ln, não há exclusão adicional aqui. Portanto o domínio é (0,\infty).

Passo 7

Calcular f\circ g (isto é, f(g(x))) e determinar seu domínio:
  • Expressão antes de simplificar: f(g(x))=\ln\bigl(g(x)\bigr)=\ln\bigl(x^{3}\bigr).
  • Simplificação cuidadosa: para usar a identidade \ln(a^{b})=b\ln a é preciso que a>0. Aqui a=x e exigimos x>0. Assim, para x>0 pode-se escrever \ln\bigl(x^{3}\bigr)=3\ln x. Não se pode aplicar essa simplificação para x\le0 porque \ln do número negativo ou zero não está definido nos reais.
  • Domínio: exigir que x^{3}>0, isto é, x>0. Logo o domínio é (0,\infty).
  • Forma mais simples (válida no domínio): (f\circ g)(x)=3\ln x, para x>0.

Passo 8

Calcular g\circ f (isto é, g(f(x))) e determinar seu domínio:
  • Expressão: g(f(x))=\bigl(f(x)\bigr)^{3}=\bigl(\ln x\bigr)^{3}.
  • Domínio: exige-se que f(x)=\ln x esteja definida, isto é, x>0. Não há restrição adicional porque qualquer número real pode ser elevado ao cubo. Logo o domínio é (0,\infty).
  • Forma mais simples: (g\circ f)(x)=\bigl(\ln x\bigr)^{3}, para x>0.

Resposta

(f+g)(x)=\ln x + x^{3},\quad\text{domínio }(0,\infty)í
(f-g)(x)=\ln x - x^{3},\quad\text{domínio }(0,\infty)í
(f\cdot g)(x)=x^{3}\ln x,\quad\text{domínio }(0,\infty)í
\dfrac{f}{g}(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3}},\quad\text{domínio }(0,\infty)í
(f\circ g)(x)=\ln\bigl(x^{3}\bigr)=3\ln x\\ \text{(para }x>0\text{)},\quad\text{domínio }(0,\infty)í
(g\circ f)(x)=\bigl(\ln x\bigr)^{3},\quad\text{domínio }(0,\infty)í

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