Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
;
Passo 1
O enunciado pede, para cada caso: escrever a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Apenas a expressão genérica
foi dada. - Não foram fornecidas as formas concretas das funções
“em cada caso” (ou seja, não há uma lista explícita de funções para compor).
Observação importante: sem as expressões concretas de
(por exemplo
,
,
, etc.) não é possível escrever a versão específica
nem determinar o domínio correspondente para esses casos. A seguir eu explico como proceder em geral e mostro exemplos práticos para você saber exatamente o que fazer na prova.
Passo 2
O que significa compor
com a função
.
Definição e procedimento:
- Se
e é uma função de uma variável (ou seja, com variável ), então a composição é a função
- Concretamente, para obter
substitui-se a variável de por e simplifica-se algebraicamente quando possível.
Exemplo genérico de substituição:
se , então
se
e aí você soma/fatoriza para simplificar.
Passo 3
Como encontrar o domínio de
— regra geral.
Regra geral (em linguagem matemática):
Aplicando ao nosso
:
- Primeiro,
porque não pode ser zero. - Depois, é necessário exigir que o valor
pertença ao domínio de . Isso gera condições adicionais (por exemplo: para precisa-se de ; para precisa-se de ; para precisa-se de ; etc). - O domínio final é a interseção das condições:
e as condições obtidas de .
Observação prática: mesmo que uma simplificação algébrica cancele fatores, sempre verifique as restrições originais (por exemplo, um cancelamento pode mascarar um ponto excluído como
).
Passo 4
Algoritmo passo a passo que use na prova (método prático e rápido)
- Escreva
e note já a restrição . - Pegue a expressão de
(o professor deverá ter dado) e substitua por . - Simplifique algebricamente o resultado (coloque sobre um denominador comum, fatorize, use identidades logarítmicas ou trigonométricas, conforme o caso).
- Determine as restrições vindas das operações algébricas (denominadores diferentes de zero, radicandos não negativos para raízes de índice par, argumentos positivos para logaritmos, etc).
- Traduza essas restrições em termos de
(resolva desigualdades ou equações resultantes). - Interseccione com
. O resultado é o domínio da composição.
Passo 5
Exemplos resolvidos e bem detalhados (para você praticar o procedimento na prova).
Exemplo A — caso polinomial simples:
Se , então
Se
Simplificando: coloque sobre o denominador
,
Domínio:
é polinomial (definida em toda
), então só resta a restrição de
:
. Logo domínio:
Exemplo B — raiz quadrada:
Se , então
Se
Condições: precisa-se de
e
.
Resolver : como o numerador
, isso acontece quando
, isto é
.
Interseção com dá simplesmente
.
Portanto domínio:
Resolver
Interseção com
Portanto domínio:
Exemplo C — função racional com polo:
Se , então
Se
Simplificar o denominador:
Logo
Condições: inicialmente
(do
). Além disso, é necessário que
(para evitar polo em
), ou equivalentemente
Também o denominador final
não pode ser zero (é a mesma condição
). Portanto domínio:
Exemplo D — logaritmo natural:
Se , então
Se
Usando identidade logarítmica, pode-se simplificar para
Condições: necessita-se de
, isto é
ou
. Interseção com
dá
.
Portanto domínio:
Portanto domínio:
Passo 6
Resumo didático rápido para decorar (pequena cola mental):
- Substitua
por em . - Simplifique, mas não esqueça de voltar e aplicar todas as restrições originais:
mais as que vêm do tipo de (radicandos, denominadores, argumentos de log, etc). - O domínio é sempre "domínio de
" intersectado com "solução das condições ".
Resposta
Não é possível dar as formas simplificadas nem os domínios sem as expressões específicas de
— o enunciado não forneceu os casos concretos de
.