Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
f\left(\frac{1}{1+x}\right);

Passo 1

O enunciado pede, para cada caso: escrever a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Apenas a expressão genérica f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right) foi dada.
  • Não foram fornecidas as formas concretas das funções f “em cada caso” (ou seja, não há uma lista explícita de funções f para compor).
Observação importante: sem as expressões concretas de f (por exemplo f(u)=u^2, f(u)=\sqrt{u}, f(u)=\ln u, etc.) não é possível escrever a versão específica f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right) nem determinar o domínio correspondente para esses casos. A seguir eu explico como proceder em geral e mostro exemplos práticos para você saber exatamente o que fazer na prova.

Passo 2

O que significa compor f com a função h(x)=\dfrac{1}{1+x}.
Definição e procedimento:
  • Se h(x)=\dfrac{1}{1+x} e f é uma função de uma variável (ou seja, f=f(u) com variável u), então a composição f\circ h é a função
(f\circ h)(x)=f(h(x))=f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right).
  • Concretamente, para obter f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right) substitui-se a variável u de f(u) por \dfrac{1}{1+x} e simplifica-se algebraicamente quando possível.
Exemplo genérico de substituição:
se f(u)=u^2+3u, então
f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^2+3\left(\dfrac{1}{1+x}\right),
e aí você soma/fatoriza para simplificar.

Passo 3

Como encontrar o domínio de f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right) — regra geral.
Regra geral (em linguagem matemática):
\operatorname{dom}\big(f\circ h\big)=\{\,x\in\operatorname{dom}(h)\mid h(x)\in\operatorname{dom}(f)\,\}.
Aplicando ao nosso h(x)=\dfrac{1}{1+x}:
  • Primeiro, \operatorname{dom}(h)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\} porque 1+x não pode ser zero.
  • Depois, é necessário exigir que o valor h(x)=\dfrac{1}{1+x} pertença ao domínio de f. Isso gera condições adicionais (por exemplo: para f(u)=\sqrt{u} precisa-se de \dfrac{1}{1+x}\ge 0; para f(u)=\ln u precisa-se de \dfrac{1}{1+x}>0; para f(u)=\dfrac{1}{u-2} precisa-se de \dfrac{1}{1+x}\neq 2; etc).
  • O domínio final é a interseção das condições: x\neq -1 e as condições obtidas de h(x)\in\operatorname{dom}(f).
Observação prática: mesmo que uma simplificação algébrica cancele fatores, sempre verifique as restrições originais (por exemplo, um cancelamento pode mascarar um ponto excluído como x=-1).

Passo 4

Algoritmo passo a passo que use na prova (método prático e rápido)
  1. Escreva h(x)=\dfrac{1}{1+x} e note já a restrição x\neq -1.
  2. Pegue a expressão de f(u) (o professor deverá ter dado) e substitua u por \dfrac{1}{1+x}.
  3. Simplifique algebricamente o resultado (coloque sobre um denominador comum, fatorize, use identidades logarítmicas ou trigonométricas, conforme o caso).
  4. Determine as restrições vindas das operações algébricas (denominadores diferentes de zero, radicandos não negativos para raízes de índice par, argumentos positivos para logaritmos, etc).
  5. Traduza essas restrições em termos de x (resolva desigualdades ou equações resultantes).
  6. Interseccione com x\neq -1. O resultado é o domínio da composição.

Passo 5

Exemplos resolvidos e bem detalhados (para você praticar o procedimento na prova).
Exemplo A — caso polinomial simples:
Se f(u)=u^2+2u, então
f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{1+x}\right).
Simplificando: coloque sobre o denominador (1+x)^2,
\left(\dfrac{1}{1+x}\right)^2+\dfrac{2}{1+x}=\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{2(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{1+2(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{3+2x}{(1+x)^2}.
Domínio: f é polinomial (definida em toda \mathbb{R}), então só resta a restrição de h: x\neq -1. Logo domínio:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
Exemplo B — raiz quadrada:
Se f(u)=\sqrt{u}, então
f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{1+x}}.
Condições: precisa-se de \dfrac{1}{1+x}\ge 0 e 1+x\neq 0.
Resolver \dfrac{1}{1+x}\ge 0: como o numerador 1>0, isso acontece quando 1+x>0, isto é x>-1.
Interseção com x\neq -1 dá simplesmente x>-1.
Portanto domínio:
\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}.
Exemplo C — função racional com polo:
Se f(u)=\dfrac{1}{u-2}, então
f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{1+x}-2}.
Simplificar o denominador:
\dfrac{1}{1+x}-2=\dfrac{1-2(1+x)}{1+x}=\dfrac{-1-2x}{1+x}=-\dfrac{1+2x}{1+x}.
Logo
\dfrac{1}{\dfrac{1}{1+x}-2}=\dfrac{1}{-\dfrac{1+2x}{1+x}}=-\dfrac{1+x}{1+2x}.
Condições: inicialmente x\neq -1 (do h). Além disso, é necessário que \dfrac{1}{1+x}\neq 2 (para evitar polo em f), ou equivalentemente
\dfrac{1}{1+x}\neq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad 1\neq 2(1+x)\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq -\dfrac{1}{2}.
Também o denominador final 1+2x não pode ser zero (é a mesma condição x\neq -\tfrac{1}{2}). Portanto domínio:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq -\tfrac{1}{2}\}.
Exemplo D — logaritmo natural:
Se f(u)=\ln u, então
f\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right).
Usando identidade logarítmica, pode-se simplificar para
\ln\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\ln(1+x).
Condições: necessita-se de \dfrac{1}{1+x}>0, isto é 1+x>0 ou x>-1. Interseção com x\neq -1 x>-1.
Portanto domínio:
\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}.

Passo 6

Resumo didático rápido para decorar (pequena cola mental):
  • Substitua u por \dfrac{1}{1+x} em f(u).
  • Simplifique, mas não esqueça de voltar e aplicar todas as restrições originais: 1+x\neq 0 mais as que vêm do tipo de f (radicandos, denominadores, argumentos de log, etc).
  • O domínio é sempre "domínio de h" intersectado com "solução das condições h(x)\in\operatorname{dom}(f)".

Resposta

Não é possível dar as formas simplificadas nem os domínios sem as expressões específicas de f — o enunciado não forneceu os casos concretos de f.

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