Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
;
Passo 1
O enunciado pede: para cada caso, escrever a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante
.
Informações dadas no enunciado que tenho aqui: nenhuma função específica foi fornecida — só a instrução genérica acima. Portanto não há nenhuma função
concreta (nem lista de casos) para calcular a composição.
Passo 2
O que significa
e como se calcula (definição e ideia básica).
- Definição:
significa aplicar duas vezes: primeiro calcular e depois aplicar ao resultado. Em símbolos:
- Regra do domínio: para que
faça sentido é preciso que pertença ao domínio de e que o valor pertença também ao domínio de . Em conjunto:
Essa é a regra que sempre uso para achar o domínio da composição.
Passo 3
Como proceder passo a passo num caso concreto (procedimento que dá certo na prova).
- Escreva a expressão de
. - Substitua
por na fórmula de para obter . - Simplifique algebricamente a expressão resultante, mantendo em mente quaisquer restrições iniciais (valores proibidos) que venham do domínio original de
. - Determine o domínio usando a fórmula do passo anterior: comece com
e imponha a condição ; resolva as equações/inequações que aparecerem para eliminar valores proibidos. - Atenção: se durante a simplificação algebraica ocorrer cancelamento de fatores, registre explicitamente as restrições que surgiram antes do cancelamento — não as “recupere” só olhando para a expressão final simplificada.
Passo 4
Exemplo 1 (polinomial, caso simples).
Se :
Se
- Primeiro
. - Depois
. Uma forma expandida é . - Domínio: polinômios são definidos para todos os reais, logo
Passo 5
Exemplo 2 (racional — mostra exclusões no domínio).
Se :
Se
-
tem domínio . - Calcular
:
- Simplificar o denominador:
- Assim
- Domínio: precisamos excluir
(domínio de ) e também valores que façam o denominador do passo intermediário zero, i.e. . Portanto
Observação: embora a forma simplificada pareça bem definida em alguns pontos, não é permitido recuperar
ou
— elas foram excluídas por causa das divisões intermediárias.
Passo 6
Exemplo 3 (função raiz, domínio com desigualdade).
Se com domínio
:
Se
-
. - Domínio: é preciso
(para existir) e também (para a segunda aplicação), mas a segunda condição é automática porque sempre que definida. Logo
Passo 7
Exemplo 4 (logaritmo — composições que reduzem domínio).
Se com domínio
:
Se
-
. - Domínio: é preciso
e . A segunda implica . Portanto
Passo 8
Exemplo 5 (função que simplifica mas tem ponto removido — cuidado com cancelamento).
Se :
Se
- Formalmente
tem domínio . - Note que algebricamente
para . Então, se substituirmos:
- Domínio: originalmente
(domínio de ), e também é preciso que para que a segunda aplicação exista; isso dá . Assim
Observação importante: embora a expressão final simplificada seja
(para
), o ponto
também deve ser excluído porque
não estava definido em
na primeira aplicação. Não esquecer essas exclusões.
Passo 9
Resumo prático para a prova (checklist rápido):
- Passo A: escreva
. - Passo B: calcule
substituindo por . - Passo C: simplifique cuidadosamente, anotando todas as restrições que surgem (divisões por zero, argumentos de raiz, argumentos de log, etc.).
- Passo D: escreva o domínio como
e resolva as condições. - Regra de ouro: nunca confie apenas na expressão final simplificada para o domínio — recupere todas as proibições obtidas durante a substituição.
Passo 10
Encerramento e ânimo: como não foram fornecidas as funções específicas pedidas no enunciado, não dá para escrever as composições pedidas nem indicar os domínios desses casos. Se quiser, me envie as funções propostas pelo professor e eu resolvo cada caso passo a passo, exatamente no estilo acima — com atenção especial às restrições de domínio.
Resposta
Não é possível determinar
nem seu domínio porque o enunciado não fornece as funções
dos casos; são necessárias as expressões de
para cada caso.