Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
(f \circ f)(x);

Passo 1

O enunciado pede: para cada caso, escrever a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante (f\circ f)(x).
Informações dadas no enunciado que tenho aqui: nenhuma função específica foi fornecida — só a instrução genérica acima. Portanto não há nenhuma função f concreta (nem lista de casos) para calcular a composição.

Passo 2

O que significa (f\circ f)(x) e como se calcula (definição e ideia básica).
  • Definição: (f\circ f)(x) significa aplicar f duas vezes: primeiro calcular f(x) e depois aplicar f ao resultado. Em símbolos:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr).
  • Regra do domínio: para que f(f(x)) faça sentido é preciso que x pertença ao domínio de f e que o valor f(x) pertença também ao domínio de f. Em conjunto:
\mathrm{dom}(f\circ f)=\{x\in\mathrm{dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{dom}(f)\}.
Essa é a regra que sempre uso para achar o domínio da composição.

Passo 3

Como proceder passo a passo num caso concreto (procedimento que dá certo na prova).
  1. Escreva a expressão de f(x).
  2. Substitua x por f(x) na fórmula de f para obter f(f(x)).
  3. Simplifique algebricamente a expressão resultante, mantendo em mente quaisquer restrições iniciais (valores proibidos) que venham do domínio original de f.
  4. Determine o domínio usando a fórmula do passo anterior: comece com \mathrm{dom}(f) e imponha a condição f(x)\in\mathrm{dom}(f); resolva as equações/inequações que aparecerem para eliminar valores proibidos.
  5. Atenção: se durante a simplificação algebraica ocorrer cancelamento de fatores, registre explicitamente as restrições que surgiram antes do cancelamento — não as “recupere” só olhando para a expressão final simplificada.

Passo 4

Exemplo 1 (polinomial, caso simples).
Se f(x)=x^2+1:
  • Primeiro f(x)=x^2+1.
  • Depois f(f(x))=(x^2+1)^2+1. Uma forma expandida é x^4+2x^2+2.
  • Domínio: polinômios são definidos para todos os reais, logo
\mathrm{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo 2 (racional — mostra exclusões no domínio).
Se f(x)=\dfrac{1}{x-3}:
  1. f(x)=\dfrac{1}{x-3} tem domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}.
  2. Calcular f(f(x)):
(f\circ f)(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{x-3}-3}.
  1. Simplificar o denominador:
\dfrac{1}{x-3}-3=\dfrac{1-3(x-3)}{x-3}=\dfrac{10-3x}{x-3}.
  1. Assim
(f\circ f)(x)=\frac{1}{\dfrac{10-3x}{x-3}}=\frac{x-3}{10-3x}=-\frac{x-3}{3x-10}.
  1. Domínio: precisamos excluir x=3 (domínio de f) e também valores que façam o denominador do passo intermediário zero, i.e. 10-3x=0\Rightarrow x=\tfrac{10}{3}. Portanto
\mathrm{dom}(f\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3,\\ x\neq \tfrac{10}{3}\}.
Observação: embora a forma simplificada pareça bem definida em alguns pontos, não é permitido recuperar x=3 ou x=\tfrac{10}{3} — elas foram excluídas por causa das divisões intermediárias.

Passo 6

Exemplo 3 (função raiz, domínio com desigualdade).
Se f(x)=\sqrt{x} com domínio \{x\mid x\ge 0\}:
  • f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4}.
  • Domínio: é preciso x\ge 0 (para f(x) existir) e também \sqrt{x}\ge 0 (para a segunda aplicação), mas a segunda condição é automática porque \sqrt{x}\ge 0 sempre que definida. Logo
\mathrm{dom}(f\circ f)=[0,\infty).

Passo 7

Exemplo 4 (logaritmo — composições que reduzem domínio).
Se f(x)=\ln x com domínio (0,\infty):
  • f(f(x))=\ln(\ln x).
  • Domínio: é preciso x>0 e \ln x>0. A segunda implica x>1. Portanto
\mathrm{dom}(f\circ f)=(1,\infty).

Passo 8

Exemplo 5 (função que simplifica mas tem ponto removido — cuidado com cancelamento).
Se f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}:
  1. Formalmente f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} tem domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}.
  2. Note que algebricamente \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1 para x\neq 1. Então, se substituirmos:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=f(x+1)=\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)-1}=\frac{x^2+2x}{x}=x+2\quad\text{(desde que }x\neq 0\text{)}.
  1. Domínio: originalmente x\neq 1 (domínio de f), e também é preciso que f(x)=x+1\neq 1 para que a segunda aplicação exista; isso dá x+1\neq 1\Rightarrow x\neq 0. Assim
\mathrm{dom}(f\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0,\\ x\neq 1\}.
Observação importante: embora a expressão final simplificada seja x+2 (para x\neq 0), o ponto x=1 também deve ser excluído porque f não estava definido em 1 na primeira aplicação. Não esquecer essas exclusões.

Passo 9

Resumo prático para a prova (checklist rápido):
  • Passo A: escreva f(x).
  • Passo B: calcule f(f(x)) substituindo x por f(x).
  • Passo C: simplifique cuidadosamente, anotando todas as restrições que surgem (divisões por zero, argumentos de raiz, argumentos de log, etc.).
  • Passo D: escreva o domínio como \{x\in\mathrm{dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{dom}(f)\} e resolva as condições.
  • Regra de ouro: nunca confie apenas na expressão final simplificada para o domínio — recupere todas as proibições obtidas durante a substituição.

Passo 10

Encerramento e ânimo: como não foram fornecidas as funções específicas pedidas no enunciado, não dá para escrever as composições pedidas nem indicar os domínios desses casos. Se quiser, me envie as funções propostas pelo professor e eu resolvo cada caso passo a passo, exatamente no estilo acima — com atenção especial às restrições de domínio.

Resposta

Não é possível determinar (f\circ f)(x) nem seu domínio porque o enunciado não fornece as funções f dos casos; são necessárias as expressões de f para cada caso.

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