Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Passo 1
O enunciado pede: escrever, em cada caso, a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante
.
Informações dadas pelo enunciado que eu tenho aqui:
- A fórmula geral pedida é
.
Informações que faltam e que são necessárias para calcular respostas concretas:
- Não foram fornecidas as funções
dos diferentes casos. Sem essas funções explícitas não é possível escrever de forma simplificada nem determinar o domínio específico de .
Passo 2
Mesmo sem os casos concretos, vou ensinar um procedimento geral e didático que você deve aplicar em cada caso do exame. Primeiro a ideia geral para obter
e seu domínio.
- Definição algébrica de
. Dada uma função , substitui-se diretamente:
Isso significa avaliar
em
e em
, multiplicar o primeiro por
e subtrair o segundo.
- Domínio. Seja
o domínio de . O domínio de é
Portanto o domínio de
é a interseção
Explicando: um
só serve para
se for válido para
E também para
.
Passo 3
Regras práticas para encontrar
em funções comuns (isso vale para fazer rápido na prova):
-
Se
é polinomial (ex.: , ), então . Logo . -
Se
é racional (ex.: ), exclua valores que anulam denominadores. Para resolva etc. Depois faça a interseção. -
Se
envolve raiz de índice par (ex.: ), exija o argumento . Para imponha a desigualdade com : por exemplo . O domínio será a interseção das condições. -
Se
envolve logaritmo (ex.: ), exija o argumento . Para exija . Interseção final. -
Se
é trigonométrica com restrições (ex.: ), exclua pontos onde a função não está definida. Para resolva a condição de indefinição com e interseque. -
Se
é peça-por-peça (piecewise), trate cada ramo e interseccione domínios ramo a ramo.
Passo 4
Exemplos resolvidos passo a passo (faça o mesmo com os
que aparecerem no seu teste).
Exemplo 1 —
.
- Calcular
:
- Domínio:
. Para também todo . Logo
Exemplo 2 —
.
- Calcular
:
- Domínio:
. Para é preciso . Interseção dá
Exemplo 3 —
.
- Calcular
:
Podemos simplificar
, então
- Domínio:
. Para requer . Interseção
Exemplo 4 —
.
- Calcular
:
- Domínio:
. Para exige . Interseção
(Confirme que a forma simplificada
tem o mesmo domínio:
.)
Exemplo 5 —
.
- Domínios iniciais:
. - Para
os pontos excluídos satisfazem . - Portanto o domínio de
é
- Se quiser simplificar
em termos de , use . Com ,
Aqui é essencial notar que o denominador
não pode ser zero, ou seja
, que corresponde exatamente aos
já excluídos acima. Portanto a simplificação é válida para
no domínio acima.
Passo 5
Receita curta que dá segurança na prova (cole na cabeça):
- Identifique
. - Escreva
substituindo . - Simplifique algebraicamente
(fatorações, identidades, etc.). - Determine
. - O domínio final é
. - Verifique que a forma simplificada de
não introduz zeros de denominador ou argumentos inválidos que não tenham sido já excluídos.
Passo 6
Conclusão final: sem as funções
específicas não há como dar respostas numéricas ou simbólicas concretas para “cada caso”. Use o procedimento e os exemplos acima para resolver cada caso que seu professor der — é exatamente esse o caminho.
Resposta
Não é possível calcular
nem fornecer domínios concretos porque as funções
dos casos não foram fornecidas.