Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
g(x)=2 f(x)-f(2 x)

Passo 1

O enunciado pede: escrever, em cada caso, a função pedida na forma mais simples e dar o domínio da função resultante g(x)=2 f(x)-f(2 x).
Informações dadas pelo enunciado que eu tenho aqui:
  • A fórmula geral pedida é g(x)=2 f(x)-f(2 x).
Informações que faltam e que são necessárias para calcular respostas concretas:
  • Não foram fornecidas as funções f dos diferentes casos. Sem essas funções explícitas não é possível escrever g de forma simplificada nem determinar o domínio específico de g.

Passo 2

Mesmo sem os casos concretos, vou ensinar um procedimento geral e didático que você deve aplicar em cada caso do exame. Primeiro a ideia geral para obter g e seu domínio.
  1. Definição algébrica de g. Dada uma função f, substitui-se diretamente:
g(x)=2\,f(x)-f(2x).
Isso significa avaliar f em x e em 2x, multiplicar o primeiro por 2 e subtrair o segundo.
  1. Domínio. Seja D_f o domínio de f. O domínio de f(2x) é
\{x\in\mathbb{R}\mid 2x\in D_f\}.
Portanto o domínio de g é a interseção
D_g = D_f \cap \{x\in\mathbb{R}\mid 2x\in D_f\}.
Explicando: um x só serve para g se for válido para f(x) E também para f(2x).

Passo 3

Regras práticas para encontrar D_g em funções comuns (isso vale para fazer rápido na prova):
  • Se f é polinomial (ex.: f(x)=x^2, f(x)=3x^3-1), então D_f=\mathbb{R}. Logo D_g=\mathbb{R}.
  • Se f é racional (ex.: f(x)=\dfrac{1}{x-1}), exclua valores que anulam denominadores. Para f(2x) resolva 2x-1=0 etc. Depois faça a interseção.
  • Se f envolve raiz de índice par (ex.: f(x)=\sqrt{x-1}), exija o argumento \ge 0. Para f(2x) imponha a desigualdade com 2x: por exemplo 2x-1\ge0\Rightarrow x\ge\tfrac{1}{2}. O domínio será a interseção das condições.
  • Se f envolve logaritmo (ex.: f(x)=\ln(x)), exija o argumento >0. Para f(2x) exija 2x>0\Rightarrow x>0. Interseção final.
  • Se f é trigonométrica com restrições (ex.: f(x)=\tan x), exclua pontos onde a função não está definida. Para f(2x) resolva a condição de indefinição com 2x e interseque.
  • Se f é peça-por-peça (piecewise), trate cada ramo e interseccione domínios ramo a ramo.

Passo 4

Exemplos resolvidos passo a passo (faça o mesmo com os f que aparecerem no seu teste).
Exemplo 1 — f(x)=x^2.
  • Calcular g(x):
g(x)=2\,(x^2)- (2x)^2 = 2x^2-4x^2 = -2x^2.
  • Domínio: D_f=\mathbb{R}. Para f(2x) também todo \mathbb{R}. Logo
D_g=\mathbb{R}.
Exemplo 2 — f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Calcular g(x):
g(x)=2\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=\frac{2}{x}-\frac{1}{2x}=\frac{4-1}{2x}=\frac{3}{2x}.
  • Domínio: D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Para f(2x) é preciso 2x\neq0\Rightarrow x\neq0. Interseção dá
D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Exemplo 3 — f(x)=\sqrt{x}.
  • Calcular g(x):
g(x)=2\sqrt{x}-\sqrt{2x}.
Podemos simplificar \sqrt{2x}=\sqrt{2}\,\sqrt{x}, então
g(x)=\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)\sqrt{x}.
  • Domínio: D_f=[0,\infty). Para f(2x) requer 2x\ge0\Rightarrow x\ge0. Interseção
D_g=[0,\infty).
Exemplo 4 — f(x)=\ln x.
  • Calcular g(x):
g(x)=2\ln x-\ln(2x)=2\ln x-\ln 2-\ln x=\ln x-\ln 2=\ln\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Domínio: D_f=(0,\infty). Para f(2x) exige 2x>0\Rightarrow x>0. Interseção
D_g=(0,\infty).
(Confirme que a forma simplificada \ln(x/2) tem o mesmo domínio: x/2>0\Rightarrow x>0.)
Exemplo 5 — f(x)=\tan x.
  • Domínios iniciais: D_f=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}.
  • Para f(2x) os pontos excluídos satisfazem 2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.
  • Portanto o domínio de g é
D_g=\mathbb{R}\setminus\Bigl(\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}\cup\{\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}\}\Bigr).
  • Se quiser simplificar g em termos de \tan x, use \tan(2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}. Com t=\tan x,
g(x)=2t-\frac{2t}{1-t^2}=\frac{2t(1-t^2)-2t}{1-t^2}=\frac{-2t^3}{1-t^2}=\frac{2t^3}{t^2-1}.
Aqui é essencial notar que o denominador 1-t^2 não pode ser zero, ou seja t^2\neq1\Rightarrow \tan x\neq\pm1, que corresponde exatamente aos x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2} já excluídos acima. Portanto a simplificação é válida para x no domínio acima.

Passo 5

Receita curta que dá segurança na prova (cole na cabeça):
  1. Identifique D_f.
  2. Escreva f(2x) substituindo x\mapsto 2x.
  3. Simplifique algebraicamente g(x)=2f(x)-f(2x) (fatorações, identidades, etc.).
  4. Determine D_{f(2x)}=\{x\mid 2x\in D_f\}.
  5. O domínio final é D_g=D_f\cap D_{f(2x)}.
  6. Verifique que a forma simplificada de g não introduz zeros de denominador ou argumentos inválidos que não tenham sido já excluídos.

Passo 6

Conclusão final: sem as funções f específicas não há como dar respostas numéricas ou simbólicas concretas para “cada caso”. Use o procedimento e os exemplos acima para resolver cada caso que seu professor der — é exatamente esse o caminho.

Resposta

Não é possível calcular g(x) nem fornecer domínios concretos porque as funções f dos casos não foram fornecidas.

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