Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Passo 1
O enunciado pede: para cada caso (isto é, para cada função
que deveria ser dada) escrever a função
na forma mais simples possível e fornecer o domínio da função resultante. As informações que o enunciado deu são apenas a expressão de
acima. Não foram fornecidas as funções
específicas para os “casos”. Portanto, faltam dados essenciais para calcular e simplificar
em cada caso.
Passo 2
O que é necessário, em geral, para resolver cada caso:
- Para obter a expressão de
é preciso conhecer a fórmula de , pois sem ela não dá para substituir nem simplificar. - Para determinar o domínio de
é preciso garantir que ambos os termos da expressão estejam definidos: o primeiro termo exige e o segundo exige . Assim, o domínio de é, em termos gerais,
Uma forma prática de ver isso é
onde
.
Passo 3
Dicas de simplificação algébrica que normalmente serão úteis na prova:
- Se
for polinomial (por exemplo ou ), basta substituir e reduzir termos semelhantes. - Se
for racional (fração), tenha cuidado com valores excluídos do domínio (denominador zero); ao substituir normalmente surgem condições adicionais. - Se
envolver raízes, logaritmos ou outras funções com domínio restrito, avalie explicitamente as restrições tanto para quanto para . - Procure identidades úteis (por exemplo trigonométricas) que permitam fatorar ou simplificar
em termos de quando for possível.
Agora vou mostrar passo a passo exemplos típicos (isto é, exercícios-modelo) para que aprenda a aplicar isso rapidamente em prova.
Passo 4
Exemplo 1 —
.
- Substituição:
- Simplificar os termos:
- Portanto
- Domínio:
é definida para todos os reais, e também. Logo
Passo 5
Exemplo 2 —
.
- Primeiro ter em mente o domínio de
: . - Substituição:
- Simplificar o segundo denominador:
- Assim
- Colocar em denominador comum
:
- Domínio: excluir
(do primeiro termo) e (do segundo termo, pois dá problema). Portanto
Passo 6
Exemplo 3 —
(raiz quadrada principal).
- Domínio de
: . - Substituição:
- Usar
:
- Domínio: é necessário
e também (esta segunda condição segue da primeira), então
Passo 7
Exemplo 4 —
.
- Domínio de
: . - Substituição:
- Usar identidade logarítmica
:
- Opcional: pode escrever
. - Domínio: exige
, logo
Passo 8
Exemplo 5 —
.
- Domínio de
: todos os reais. - Substituição:
- Usar a identidade
:
portanto
- Domínio: todos os reais,
Passo 9
Resumo prático para aplicar na prova (passo a passo rápido quando der o enunciado com uma
específica):
- Escrever
substituindo a fórmula de . - Simplificar algebricamente termo a termo; procurar fatores comuns ou identidades (ex.: trigonometria, logaritmos).
- Determinar o domínio identificando condições provenientes de
e de ; intersectar essas condições como em . - Se houver cancelamento algébrico que elimine pontos de indeterminação, reavalie o domínio (mas atenção: não reintroduzir pontos onde original não estava definido).
Resposta
Não é possível resolver: o enunciado não forneceu as funções
para cada caso.