Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
g(x)=\frac{1}{2} f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para cada caso (isto é, para cada função f que deveria ser dada) escrever a função
g(x)=\frac{1}{2}f(x)-f\!\left(\frac{x}{2}\right)
na forma mais simples possível e fornecer o domínio da função resultante. As informações que o enunciado deu são apenas a expressão de g acima. Não foram fornecidas as funções f(x) específicas para os “casos”. Portanto, faltam dados essenciais para calcular e simplificar g em cada caso.

Passo 2

O que é necessário, em geral, para resolver cada caso:
  • Para obter a expressão de g é preciso conhecer a fórmula de f, pois sem ela não dá para substituir nem simplificar.
  • Para determinar o domínio de g é preciso garantir que ambos os termos da expressão estejam definidos: o primeiro termo exige x\in\operatorname{Dom}(f) e o segundo exige \dfrac{x}{2}\in\operatorname{Dom}(f). Assim, o domínio de g é, em termos gerais,
\operatorname{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\in\operatorname{Dom}(f)\\ \text{e}\\ \tfrac{x}{2}\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Uma forma prática de ver isso é
\operatorname{Dom}(g)=\operatorname{Dom}(f)\cap\{x: x/2\in\operatorname{Dom}(f)\}=\operatorname{Dom}(f)\cap 2\cdot\operatorname{Dom}(f),
onde 2\cdot\operatorname{Dom}(f)=\{2t: t\in\operatorname{Dom}(f)\}.

Passo 3

Dicas de simplificação algébrica que normalmente serão úteis na prova:
  • Se f for polinomial (por exemplo f(x)=x^2 ou f(x)=ax+b), basta substituir e reduzir termos semelhantes.
  • Se f for racional (fração), tenha cuidado com valores excluídos do domínio (denominador zero); ao substituir x/2 normalmente surgem condições adicionais.
  • Se f envolver raízes, logaritmos ou outras funções com domínio restrito, avalie explicitamente as restrições tanto para x quanto para x/2.
  • Procure identidades úteis (por exemplo trigonométricas) que permitam fatorar ou simplificar f(x) em termos de f(x/2) quando for possível.
Agora vou mostrar passo a passo exemplos típicos (isto é, exercícios-modelo) para que aprenda a aplicar isso rapidamente em prova.

Passo 4

Exemplo 1 — f(x)=x^2.
  • Substituição:
g(x)=\frac{1}{2}x^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2.
  • Simplificar os termos:
\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x^2}{4}, \qquad \frac{1}{2}x^2=\frac{2}{4}x^2.
  • Portanto
g(x)=\frac{2}{4}x^2-\frac{1}{4}x^2=\frac{1}{4}x^2.
  • Domínio: f(x)=x^2 é definida para todos os reais, e x/2 também. Logo
\operatorname{Dom}(g)=(-\infty,\infty).

Passo 5

Exemplo 2 — f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • Primeiro ter em mente o domínio de f: \operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\neq1\}.
  • Substituição:
g(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{\tfrac{x}{2}-1}.
  • Simplificar o segundo denominador:
\tfrac{x}{2}-1=\frac{x-2}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\tfrac{x}{2}-1}=\frac{2}{x-2}.
  • Assim
g(x)=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{2}{x-2}.
  • Colocar em denominador comum 2(x-1)(x-2):
g(x)=\frac{x-2-4(x-1)}{2(x-1)(x-2)}=\frac{-3x+2}{2(x-1)(x-2)}.
  • Domínio: excluir x=1 (do primeiro termo) e x=2 (do segundo termo, pois x/2=1 dá problema). Portanto
\operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}.

Passo 6

Exemplo 3 — f(x)=\sqrt{x} (raiz quadrada principal).
  • Domínio de f: \operatorname{Dom}(f)=[0,\infty).
  • Substituição:
g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{\tfrac{x}{2}}.
  • Usar \sqrt{\tfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}:
g(x)=\sqrt{x}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
  • Domínio: é necessário x\ge 0 e também \tfrac{x}{2}\ge0 (esta segunda condição segue da primeira), então
\operatorname{Dom}(g)=[0,\infty).

Passo 7

Exemplo 4 — f(x)=\ln(x).
  • Domínio de f: \operatorname{Dom}(f)=(0,\infty).
  • Substituição:
g(x)=\frac{1}{2}\ln x-\ln\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Usar identidade logarítmica \ln\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=\ln x-\ln 2:
g(x)=\frac{1}{2}\ln x-(\ln x-\ln 2)=\ln 2-\frac{1}{2}\ln x.
  • Opcional: pode escrever g(x)=\ln\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right).
  • Domínio: exige x>0, logo
\operatorname{Dom}(g)=(0,\infty).

Passo 8

Exemplo 5 — f(x)=\sin x.
  • Domínio de f: todos os reais.
  • Substituição:
g(x)=\frac{1}{2}\sin x-\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Usar a identidade \sin x=2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right):
\frac{1}{2}\sin x=\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right),
portanto
g(x)=\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\big(\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)-1\big).
  • Domínio: todos os reais,
\operatorname{Dom}(g)=(-\infty,\infty).

Passo 9

Resumo prático para aplicar na prova (passo a passo rápido quando der o enunciado com uma f específica):
  1. Escrever g(x)=\dfrac{1}{2}f(x)-f\!\left(\dfrac{x}{2}\right) substituindo a fórmula de f.
  2. Simplificar algebricamente termo a termo; procurar fatores comuns ou identidades (ex.: trigonometria, logaritmos).
  3. Determinar o domínio identificando condições provenientes de f(x) e de f\!\left(\dfrac{x}{2}\right); intersectar essas condições como em \operatorname{Dom}(g)=\operatorname{Dom}(f)\cap\{x: x/2\in\operatorname{Dom}(f)\}.
  4. Se houver cancelamento algébrico que elimine pontos de indeterminação, reavalie o domínio (mas atenção: não reintroduzir pontos onde original não estava definido).

Resposta

Não é possível resolver: o enunciado não forneceu as funções f(x) para cada caso.

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