Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Passo 1
O enunciado pede, para cada caso dado, que se escreva a função composta
na forma mais simples e que se dê o domínio da função resultante. As informações relevantes que o enunciado forneceu (o que estou vendo aqui) são:
- A operação a realizar: substituir
por na função , formando . - O que deve ser informado: a forma simplificada de
e o domínio dessa função composta.
Informação que falta (necessária para dar respostas numéricas/específicas):
- Não foram fornecidas as expressões concretas das funções
para cada caso. Sem as expressões de não dá para escrever explicitamente nem determinar os domínios concretos.
Passo 2
Apesar de não ter os casos concretos, vou ensinar passo a passo como proceder em qualquer caso. Primeiro o conceito: avaliar
significa compor
com a função linear
. Formalmente,
onde
.
Explicação do que fazer para simplificar a expressão:
- Substituir toda ocorrência da variável da função
(normalmente escrita como ou dentro de ) por . - Fazer álgebra elementar: expandir potências, reduzir termos semelhantes, simplificar sinais e frações sempre que possível. Vou mostrar exemplos práticos nos próximos passos.
Passo 3
Exemplo 1 — caso polinomial (passo a passo de simplificação):
Se , então
Se
Agora expandir termo a termo:
Somando:
Portanto a forma mais simples é
.
Passo 4
Como encontrar o domínio de
(regra geral):
- Seja
. O domínio da composta é
Isto é, pegar o conjunto de
onde
existe (o domínio de
) e transformar esse conjunto em
-valores resolvendo
para
.
- Como
é invertível (linear), pode-se usar para mapear intervalos de para intervalos de . Em palavras: o domínio da composta é o anteimagem (pré-imagem) do domínio de por .
Passo 5
Exemplo 1 (continuação) — domínio do polinômio:
Para temos
. Então
Para
Polinômios não restringem domínio, então a composta também tem domínio
.
Passo 6
Exemplo 2 — caso racional:
Se , então
Se
Para o domínio de
temos
. Logo exigimos
Resolver:
Portanto
Passo 7
Exemplo 3 — caso radical:
Se , então
Se
Para o domínio de
precisamos de
, isto é
. Substituindo
exige-se
Portanto
Passo 8
Exemplo 4 — caso logaritmo:
Se , então
Se
Domínio de
é
. Logo exigimos
Assim
Passo 9
Como tratar domínios dados por intervalos em geral (dica prática):
- Se
então resolva . Isso dá, passo a passo:
somar
:
multiplicar por
(inverte desigualdades):
ordenando:
ou seja
A mesma ideia vale para intervalos fechados ou semiabertos; cuidado com inclusão dos extremos (igualdades) ao multiplicar por
.
Passo 10
Resumo prático (receita para a prova):
- Substitua a variável interna de
por . - Simplifique algebricamente (expandir, reduzir, fatorar, simplificar frações).
- Para o domínio, escreva a condição que define
em termos de e troque por . Resolva essa condição para . - Se o domínio de
for dado por intervalos, aplique a transformação inversa aos extremos (lembrando que multiplicar por inverte desigualdades).
Vai dar certo — respira, segue a receita e pratica com alguns exemplos que eu mostrei. Se quiser, me manda os casos concretos que seu professor passou (as fórmulas depara cada item) e eu faço cada substituição e domínio detalhadamente pra você.
Resposta
Não é possível fornecer
e seus domínios para cada caso porque as expressões das funções
não foram fornecidas.