Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
f(-x-1)

Passo 1

O enunciado pede, para cada caso dado, que se escreva a função composta f(-x-1) na forma mais simples e que se dê o domínio da função resultante. As informações relevantes que o enunciado forneceu (o que estou vendo aqui) são:
  • A operação a realizar: substituir x por -x-1 na função f, formando f(-x-1).
  • O que deve ser informado: a forma simplificada de f(-x-1) e o domínio dessa função composta.
Informação que falta (necessária para dar respostas numéricas/específicas):
  • Não foram fornecidas as expressões concretas das funções f para cada caso. Sem as expressões de f não dá para escrever explicitamente f(-x-1) nem determinar os domínios concretos.

Passo 2

Apesar de não ter os casos concretos, vou ensinar passo a passo como proceder em qualquer caso. Primeiro o conceito: avaliar f(-x-1) significa compor f com a função linear g(x)=-x-1. Formalmente, f(-x-1)=(f\circ g)(x) onde g(x)=-x-1.
Explicação do que fazer para simplificar a expressão:
  • Substituir toda ocorrência da variável da função f (normalmente escrita como u ou x dentro de f) por -x-1.
  • Fazer álgebra elementar: expandir potências, reduzir termos semelhantes, simplificar sinais e frações sempre que possível. Vou mostrar exemplos práticos nos próximos passos.

Passo 3

Exemplo 1 — caso polinomial (passo a passo de simplificação):
Se f(u)=u^{2}+3u, então
f(-x-1)=(-x-1)^{2}+3(-x-1).
Agora expandir termo a termo:
(-x-1)^{2}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, \qquad 3(-x-1)=-3x-3.
Somando:
f(-x-1)=x^{2}+2x+1-3x-3=x^{2}-x-2.
Portanto a forma mais simples é \,x^{2}-x-2.

Passo 4

Como encontrar o domínio de f(-x-1) (regra geral):
  • Seja g(x)=-x-1. O domínio da composta é
\mathrm{dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid g(x)\in\mathrm{dom}(f)\}.
Isto é, pegar o conjunto de \,u onde f(u) existe (o domínio de f) e transformar esse conjunto em x-valores resolvendo u=g(x)=-x-1 para x.
  • Como g é invertível (linear), pode-se usar x=g^{-1}(u)=-u-1 para mapear intervalos de u para intervalos de x. Em palavras: o domínio da composta é o anteimagem (pré-imagem) do domínio de f por g.

Passo 5

Exemplo 1 (continuação) — domínio do polinômio:
Para f(u)=u^{2}+3u temos \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}. Então
\mathrm{dom}(f(-x-1))=\{x\in\mathbb{R}\mid -x-1\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}.
Polinômios não restringem domínio, então a composta também tem domínio \mathbb{R}.

Passo 6

Exemplo 2 — caso racional:
Se f(u)=\dfrac{1}{u-2}, então
f(-x-1)=\dfrac{1}{-x-1-2}=\dfrac{1}{-x-3}=-\dfrac{1}{x+3}.
Para o domínio de f temos \mathrm{dom}(f)=\{u\in\mathbb{R}\mid u\neq 2\}. Logo exigimos
-x-1\neq 2.
Resolver:
-x\neq 3 \quad\Rightarrow\quad x\neq -3.
Portanto
\mathrm{dom}(f(-x-1))=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.

Passo 7

Exemplo 3 — caso radical:
Se f(u)=\sqrt{u+1}, então
f(-x-1)=\sqrt{-x-1+1}=\sqrt{-x}.
Para o domínio de f precisamos de u+1\ge 0, isto é \,u\ge-1. Substituindo u=-x-1 exige-se
-x-1\ge -1 \quad\Rightarrow\quad -x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 0.
Portanto
\mathrm{dom}(f(-x-1))=(-\infty,0].

Passo 8

Exemplo 4 — caso logaritmo:
Se f(u)=\ln(u), então
f(-x-1)=\ln(-x-1).
Domínio de f é u>0. Logo exigimos
-x-1>0 \quad\Rightarrow\quad -x>1 \quad\Rightarrow\quad x<-1.
Assim
\mathrm{dom}(f(-x-1))=(-\infty,-1).

Passo 9

Como tratar domínios dados por intervalos em geral (dica prática):
  • Se \mathrm{dom}(f)=(a,b) então resolva a<-x-1<b. Isso dá, passo a passo:
a<-x-1<b
somar 1:
a+1<-x<b+1
multiplicar por -1 (inverte desigualdades):
-(a+1)>x>-(b+1)
ordenando:
-b-1<x<-a-1,
ou seja
\mathrm{dom}(f\circ g)=(-b-1,-a-1).
A mesma ideia vale para intervalos fechados ou semiabertos; cuidado com inclusão dos extremos (igualdades) ao multiplicar por -1.

Passo 10

Resumo prático (receita para a prova):
  1. Substitua a variável interna de f por -x-1.
  2. Simplifique algebricamente (expandir, reduzir, fatorar, simplificar frações).
  3. Para o domínio, escreva a condição que define \mathrm{dom}(f) em termos de u e troque u por -x-1. Resolva essa condição para x.
  4. Se o domínio de f for dado por intervalos, aplique a transformação inversa x=-u-1 aos extremos (lembrando que multiplicar por -1 inverte desigualdades).
    Vai dar certo — respira, segue a receita e pratica com alguns exemplos que eu mostrei. Se quiser, me manda os casos concretos que seu professor passou (as fórmulas de f para cada item) e eu faço cada substituição e domínio detalhadamente pra você.

Resposta

Não é possível fornecer f(-x-1) e seus domínios para cada caso porque as expressões das funções f não foram fornecidas.

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