Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
f\left(\frac{n+1}{n-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede que, “em cada caso”, se escreva a função pedida na forma mais simples e se dê o domínio da função resultante
f\!\left(\frac{n+1}{n-1}\right).
Informações explicitamente dadas no enunciado que tenho aqui:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{n+1}{n-1} como entrada da função f.
  • Não foram fornecidas as definições concretas de f (ou seja, não sei quais são os “casos” que o enunciado menciona).
Portanto: o enunciado faz uma pergunta clara (calcular e simplificar f((n+1)/(n-1)) e indicar o domínio), mas faltam as fórmulas de f para aplicar em cada caso.

Passo 2

O que significa escrever f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)?
  • Se f for uma função qualquer que toma um número x e devolve f(x), então f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) é apenas a composição de f com a função que envia n em \dfrac{n+1}{n-1}.
  • Definindo g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right), o objetivo é escrever g(n) de forma simplificada e indicar o conjunto de valores de n para os quais g(n) está definida (o domínio de g).
Nota importante sobre notação: sempre que eu escrever variáveis ou expressões matemáticas elas estarão entre ... como aqui.

Passo 3

Regra geral para o domínio de g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right).
  • Primeiro cuidado óbvio: \dfrac{n+1}{n-1} exige que o denominador não seja zero, logo n\neq 1.
  • Segundo cuidado: a função f tem um domínio próprio, que vou chamar de \operatorname{Dom}(f). Para que g(n) faça sentido, o valor \dfrac{n+1}{n-1} precisa pertencer a \operatorname{Dom}(f). Assim o domínio de g é \operatorname{Dom}(g)=\left\{\,n\in\mathbb{R}\\ \middle|\\ n\neq 1\\ \text{ e }\\ \dfrac{n+1}{n-1}\in\operatorname{Dom}(f)\right\}.
Isto é a resposta estrutural geral que sempre vale: além de n\neq 1, há as restrições impostas por f sobre o argumento.

Passo 4

Como simplificar f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) na prática — exemplo 1 (caso polinomial).
Suponha que um dos “casos” fosse f(x)=x^{2}+3x. Então fazemos substituição direta:
g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)=\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)^{2}+3\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right).
Passo a passo para simplificar (frações com mesmo denominador):
\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)^{2}=\dfrac{(n+1)^{2}}{(n-1)^{2}}, \qquad 3\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)=\dfrac{3(n+1)}{n-1}.
Para somar, colocamos mesmo denominador (n-1)^{2}:
g(n)=\dfrac{(n+1)^{2}}{(n-1)^{2}}+\dfrac{3(n+1)(n-1)}{(n-1)^{2}} =\dfrac{(n+1)^{2}+3(n+1)(n-1)}{(n-1)^{2}}.
Fatorando (n+1):
g(n)=\dfrac{(n+1)\bigl((n+1)+3(n-1)\bigr)}{(n-1)^{2}} =\dfrac{(n+1)\bigl(n+1+3n-3\bigr)}{(n-1)^{2}} =\dfrac{(n+1)\bigl(4n-2\bigr)}{(n-1)^{2}}.
Podemos ainda simplificar um factor 2:
g(n)=\dfrac{2(n+1)(2n-1)}{(n-1)^{2}}.
Domínio deste g: todos os n\in\mathbb{R} exceto n=1, porque f é polinomial e aceita qualquer real; logo
\operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 5

Exemplo 2 (caso com denominador dentro de f). Suponha f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
Substituindo:
g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{n+1}{n-1}-2}.
Simplificar o denominador:
\dfrac{n+1}{n-1}-2=\dfrac{n+1-2(n-1)}{n-1}=\dfrac{n+1-2n+2}{n-1}=\dfrac{3-n}{n-1}.
Logo
g(n)=\dfrac{1}{\dfrac{3-n}{n-1}}=\dfrac{n-1}{3-n}.
Repare que inverti a fração corretamente; às vezes é conveniente multiplicar por \dfrac{n-1}{n-1}.
Agora o domínio: precisamos garantir duas coisas:
  1. n\neq 1 (para \dfrac{n+1}{n-1} existir).
  2. O argumento nunca pode ser 2, isto é \dfrac{n+1}{n-1}\neq 2. Resolvendo:
\dfrac{n+1}{n-1}=2 \quad\Longrightarrow\quad n+1=2(n-1)\quad\Longrightarrow\quad n+1=2n-2\quad\Longrightarrow\quad n=3.
Portanto n\neq 3 também. Assim
\operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}.
(Observe que, no resultado simplificado g(n)=\dfrac{n-1}{3-n}, o valor n=3 é proibido porque no processo de simplificação aparece divisão por zero — essa exclusão precisa ser mantida mesmo que a expressão pareça dar valor finito após manipulação algébrica.)

Passo 6

Exemplo 3 (caso com raiz). Suponha f(x)=\sqrt{x+1}. Aqui f exige que o argumento satisfaça x+1\ge 0.
Queremos:
g(n)=\sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}+1}.
Somando dentro da raiz com denominador comum:
\dfrac{n+1}{n-1}+1=\dfrac{n+1+n-1}{n-1}=\dfrac{2n}{n-1}.
Logo
g(n)=\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}.
Domínio: além de n\neq 1, precisamos \dfrac{2n}{n-1}\ge 0. Resolvendo a desigualdade racional:
  • Zeros e pontos críticos: numerador zero em n=0; denominador zero em n=1.
  • Fazer quadro de sinais para \dfrac{2n}{n-1}:
    • Para n<0: numerador 2n<0, denominador n-1<0 → razão >0.
    • Para 0<n<1: numerador >0, denominador <0 → razão <0.
    • Para n>1: numerador >0, denominador >0 → razão >0.
  • Incluímos o ponto onde a expressão é zero: n=0 \dfrac{2\cdot 0}{0-1}=0, e \sqrt{0} é permitido.
  • Excluímos n=1.
Portanto
\operatorname{Dom}(g)=(-\infty,0]\\ \cup\\ (1,\infty).

Passo 7

Resumo prático (dicas para a prova, passo a passo que sempre funciona)
  1. Identifique restrições imediatas: aqui sempre n\neq 1 por causa de \dfrac{n+1}{n-1}.
  2. Substitua \dfrac{n+1}{n-1} no lugar de x em f(x).
  3. Simplifique algébrica e cuidadosamente (coloque tudo sobre um denominador comum quando necessário).
  4. Anote e resolva as restrições adicionais que vêm de f (denominadores que não podem ser zero, radicais que exigem \ge 0, logaritmos que exigem >0, etc.).
  5. Lembre-se de que valores proibidos que surgiram durante a manipulação (por exemplo, resolver \dfrac{n+1}{n-1}=2 e encontrar n=3) continuam proibidos mesmo que a expressão final aparente estar definida naquele n.

Passo 8

Impossibilidade de dar as respostas “em cada caso” pedidas originalmente.
Como as fórmulas específicas de f (os “casos”) não foram fornecidas no enunciado que me chegou aqui, não é possível listar as expressões finais simplificadas nem os domínios para esses casos concretos. O que eu dei acima foi:
  • a forma geral do domínio: \{n\in\mathbb{R}: n\neq 1 \text{ e } (n+1)/(n-1)\in\operatorname{Dom}(f)\};
  • exemplos detalhados (polinomial, racional com polo, radical) com simplificação e cálculo do domínio para cada exemplo, para você ver como proceder na prova.
Se você tiver os casos concretos de f que o professor indicou, eu já consigo aplicar esse procedimento a cada um sem perder tempo.

Resposta

Não é possível fornecer as fórmulas finais para “cada caso” porque as definições de f não foram fornecidas; em geral,
g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) \quad\text{com}\quad \operatorname{Dom}(g)=\left\{n\in\mathbb{R}\\ \middle|\\ n\neq 1\\ \text{ e }\\ \dfrac{n+1}{n-1}\in\operatorname{Dom}(f)\right\}.

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