Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante f\left(\frac{n+1}{n-1}\right)
Passo 1
O enunciado pede que, “em cada caso”, se escreva a função pedida na forma mais simples e se dê o domínio da função resultante
f\!\left(\frac{n+1}{n-1}\right).
Informações explicitamente dadas no enunciado que tenho aqui:
A expressão a avaliar é \dfrac{n+1}{n-1} como entrada da função f.
Não foram fornecidas as definições concretas de f (ou seja, não sei quais são os “casos” que o enunciado menciona).
Portanto: o enunciado faz uma pergunta clara (calcular e simplificar f((n+1)/(n-1)) e indicar o domínio), mas faltam as fórmulas de f para aplicar em cada caso.
Passo 2
O que significa escrever f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)?
Se f for uma função qualquer que toma um número x e devolve f(x), então f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) é apenas a composição de f com a função que envia n em \dfrac{n+1}{n-1}.
Definindo g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right), o objetivo é escrever g(n) de forma simplificada e indicar o conjunto de valores de n para os quais g(n) está definida (o domínio de g).
Nota importante sobre notação: sempre que eu escrever variáveis ou expressões matemáticas elas estarão entre ... como aqui.
Passo 3
Regra geral para o domínio de g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right).
Primeiro cuidado óbvio: \dfrac{n+1}{n-1} exige que o denominador não seja zero, logon\neq 1.
Segundo cuidado: a função f tem um domínio próprio, que vou chamar de \operatorname{Dom}(f). Para que g(n) faça sentido, o valor \dfrac{n+1}{n-1} precisa pertencer a \operatorname{Dom}(f). Assim o domínio de g é\operatorname{Dom}(g)=\left\{\,n\in\mathbb{R}\\ \middle|\\ n\neq 1\\ \text{ e }\\ \dfrac{n+1}{n-1}\in\operatorname{Dom}(f)\right\}.
Isto é a resposta estrutural geral que sempre vale: além de n\neq 1, há as restrições impostas por f sobre o argumento.
Passo 4
Como simplificar f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) na prática — exemplo 1 (caso polinomial).
Suponha que um dos “casos” fosse f(x)=x^{2}+3x. Então fazemos substituição direta:
(Observe que, no resultado simplificado g(n)=\dfrac{n-1}{3-n}, o valor n=3 é proibido porque no processo de simplificação aparece divisão por zero — essa exclusão precisa ser mantida mesmo que a expressão pareça dar valor finito após manipulação algébrica.)
Passo 6
Exemplo 3 (caso com raiz). Suponha f(x)=\sqrt{x+1}. Aqui f exige que o argumento satisfaça x+1\ge 0.
Resumo prático (dicas para a prova, passo a passo que sempre funciona)
Identifique restrições imediatas: aqui sempre n\neq 1 por causa de \dfrac{n+1}{n-1}.
Substitua \dfrac{n+1}{n-1} no lugar de x em f(x).
Simplifique algébrica e cuidadosamente (coloque tudo sobre um denominador comum quando necessário).
Anote e resolva as restrições adicionais que vêm de f (denominadores que não podem ser zero, radicais que exigem \ge 0, logaritmos que exigem >0, etc.).
Lembre-se de que valores proibidos que surgiram durante a manipulação (por exemplo, resolver \dfrac{n+1}{n-1}=2 e encontrar n=3) continuam proibidos mesmo que a expressão final aparente estar definida naquele n.
Passo 8
Impossibilidade de dar as respostas “em cada caso” pedidas originalmente.
Como as fórmulas específicas de f (os “casos”) não foram fornecidas no enunciado que me chegou aqui, não é possível listar as expressões finais simplificadas nem os domínios para esses casos concretos. O que eu dei acima foi:
a forma geral do domínio: \{n\in\mathbb{R}: n\neq 1 \text{ e } (n+1)/(n-1)\in\operatorname{Dom}(f)\};
exemplos detalhados (polinomial, racional com polo, radical) com simplificação e cálculo do domínio para cada exemplo, para você ver como proceder na prova.
Se você tiver os casos concretos de f que o professor indicou, eu já consigo aplicar esse procedimento a cada um sem perder tempo.
Resposta
Não é possível fornecer as fórmulas finais para “cada caso” porque as definições de f não foram fornecidas; em geral,
g(n)=f\!\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right) \quad\text{com}\quad \operatorname{Dom}(g)=\left\{n\in\mathbb{R}\\ \middle|\\ n\neq 1\\ \text{ e }\\ \dfrac{n+1}{n-1}\in\operatorname{Dom}(f)\right\}.