Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
(g \circ f)(x)

Passo 1

O enunciado pede, para cada caso, que eu escreva a função composta (g\circ f)(x) “na forma mais simples” e que eu informe o domínio da função resultante. As informações que aparecem no enunciado são apenas essas: escrever a composição e dar seu domínio.
No entanto, o enunciado não fornece nenhuma das funções f e g. Sem as expressões de f e g não há como calcular explicitamente (g\circ f)(x) nem determinar o domínio numérico da composição.

Passo 2

Mesmo sem funções específicas, vamos aprender direitinho o que significa compor funções e como proceder na prova — passo a passo e com exemplos para você usar na hora.
Definição e notação:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
Isto é: primeiro aplica-se f em x e, em seguida, aplica-se g ao resultado f(x).
Regra para o domínio da composição:
\operatorname{Dom}(g\circ f)=\{\,x\in\operatorname{Dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\,\}.
Em palavras: o domínio da composição são os x que estão no domínio de f e cujo valor f(x) cai no domínio de g.

Passo 3

Procedimento prático (sequência de passos para resolver no caderno ou na prova):
  1. Escreva f(x) e simplify (simplificar f(x) se possível).
  2. Determine \operatorname{Dom}(f) (todas as restrições que impedem f de estar definida).
  3. Substitua f(x) em g: escreva g(f(x)).
  4. Simplifique algebraicamente g(f(x)) (cuidando para não “remover” restrições ocultas por cancelamento).
  5. Determine as restrições impostas por g quando o argumento é f(x) — por exemplo:
    • se g tem denominador, exigir que esse denominador não seja zero;
    • se g contém raiz par (por exemplo \sqrt{\cdot}), exigir que o radicando seja \ge 0;
    • se g contém logaritmo (por exemplo \ln(\cdot)), exigir que o argumento seja >0;
    • se g tiver potência com expoente racional de denominator par, tratar como raiz par, etc.
  6. Interseccione as condições: o domínio final é \operatorname{Dom}(f) intersectado com o conjunto de x que satisfazem as condições de g(f(x)).
  7. Escreva a função composta na forma mais simples possível, mas mantenha anotações das restrições de domínio (não “esconda” pontos excluídos por simplificações algébricas).

Passo 4

Exemplo 1 (caso simples — polinômios): seja f(x)=2x+1 e g(x)=x^2.
  • Primeiro, \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} e \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}.
  • Composição: (g\circ f)(x)=g(f(x))=(2x+1)^2.
  • Simplificando: (2x+1)^2 já é uma forma simples; se quiser expandir, 4x^2+4x+1.
  • Domínio: como f(x) é real para todo x e g aceita todo real, \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo 2 (racional + raiz): seja f(x)=\dfrac{1}{x-1} e g(x)=\sqrt{x}.
  • \operatorname{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\} (pois denominador não pode ser zero).
  • \operatorname{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}.
  • Composição: (g\circ f)(x)=\sqrt{f(x)}=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}.
  • Para que isso faça sentido, precisamos de:
    1. x\neq 1 (para f estar definida);
    2. \dfrac{1}{x-1}\ge 0 (para a raiz quadrada).
  • Resolver \dfrac{1}{x-1}\ge 0: isso acontece quando x-1>0, isto é x>1. (Para x<1 o quociente é negativo; em x=1 não definido.)
  • Logo \operatorname{Dom}(g\circ f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>1\}.
  • Forma mais simples da função (válida para x>1): \sqrt{\dfrac{1}{x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}.
    Portanto (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}, com domínio x>1.

Passo 6

Exemplo 3 (log e polinômio): seja f(x)=x^2-4 e g(x)=\ln(x).
  • \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • \operatorname{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
  • Composição: (g\circ f)(x)=\ln(x^2-4).
  • Condição para o domínio: x^2-4>0.
  • Resolver x^2-4>0: fatorando, (x-2)(x+2)>0. Portanto x<-2 ou x>2.
  • Logo \operatorname{Dom}(g\circ f)=(-\infty,-2)\cup(2,\infty).
  • Função composta em forma simples: \ln(x^2-4) (mantendo a restrição de domínio acima).

Passo 7

Dicas importantes para a prova (pegue essas):
  • Nunca determine o domínio após fazer cancelamentos algébricos que podem ocultar pontos excluídos. Exemplo: se na forma simplificada você obtém \dfrac{x-1}{x-1}=1, lembre-se que originalmente x\neq 1.
  • Sempre aplique as restrições na expressão f(x) antes de “limpar” a forma final.
  • Resolva desigualdades com cuidado (sinal de denominaror, zeros, intervalos) e use uma tabela de sinais quando tiver polinômios/lembretes de fatoração.
  • Anote o domínio final em forma de conjunto ou intervalos; isso é raro de errar se seguir as etapas.

Passo 8

Resumo do que eu faria para cada caso que seu professor pedir:
  • Anotar f(x) e g(x).
  • Determinar \operatorname{Dom}(f) e \operatorname{Dom}(g).
  • Calcular g(f(x)) por substituição.
  • Exigir que x satisfaça as condições de \operatorname{Dom}(f) e que f(x) pertença a \operatorname{Dom}(g).
  • Simplificar a expressão final (sem esquecer de preservar as restrições de domínio).

Resposta

Não é possível determinar (g\circ f)(x) nem o seu domínio porque as funções f e g não foram fornecidas.

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