Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Passo 1
O enunciado pede, para cada caso, que eu escreva a função composta
“na forma mais simples” e que eu informe o domínio da função resultante. As informações que aparecem no enunciado são apenas essas: escrever a composição e dar seu domínio.
No entanto, o enunciado não fornece nenhuma das funções
e
. Sem as expressões de
e
não há como calcular explicitamente
nem determinar o domínio numérico da composição.
Passo 2
Mesmo sem funções específicas, vamos aprender direitinho o que significa compor funções e como proceder na prova — passo a passo e com exemplos para você usar na hora.
Definição e notação:
Isto é: primeiro aplica-se
em
e, em seguida, aplica-se
ao resultado
.
Regra para o domínio da composição:
Em palavras: o domínio da composição são os
que estão no domínio de
e cujo valor
cai no domínio de
.
Passo 3
Procedimento prático (sequência de passos para resolver no caderno ou na prova):
- Escreva
e simplify (simplificar se possível). - Determine
(todas as restrições que impedem de estar definida). - Substitua
em : escreva . - Simplifique algebraicamente
(cuidando para não “remover” restrições ocultas por cancelamento). - Determine as restrições impostas por
quando o argumento é — por exemplo: - se
tem denominador, exigir que esse denominador não seja zero; - se
contém raiz par (por exemplo ), exigir que o radicando seja ; - se
contém logaritmo (por exemplo ), exigir que o argumento seja ; - se
tiver potência com expoente racional de denominator par, tratar como raiz par, etc.
- se
- Interseccione as condições: o domínio final é
intersectado com o conjunto de que satisfazem as condições de . - Escreva a função composta na forma mais simples possível, mas mantenha anotações das restrições de domínio (não “esconda” pontos excluídos por simplificações algébricas).
Passo 4
Exemplo 1 (caso simples — polinômios): seja
e
.
- Primeiro,
e . - Composição:
. - Simplificando:
já é uma forma simples; se quiser expandir, . - Domínio: como
é real para todo e aceita todo real, .
Passo 5
Exemplo 2 (racional + raiz): seja
e
.
-
(pois denominador não pode ser zero). -
. - Composição:
. - Para que isso faça sentido, precisamos de:
-
(para estar definida); -
(para a raiz quadrada).
-
- Resolver
: isso acontece quando , isto é . (Para o quociente é negativo; em não definido.) - Logo
. - Forma mais simples da função (válida para
): .
Portanto, com domínio .
Passo 6
Exemplo 3 (log e polinômio): seja
e
.
-
. -
. - Composição:
. - Condição para o domínio:
. - Resolver
: fatorando, . Portanto ou . - Logo
. - Função composta em forma simples:
(mantendo a restrição de domínio acima).
Passo 7
Dicas importantes para a prova (pegue essas):
- Nunca determine o domínio após fazer cancelamentos algébricos que podem ocultar pontos excluídos. Exemplo: se na forma simplificada você obtém
, lembre-se que originalmente . - Sempre aplique as restrições na expressão
antes de “limpar” a forma final. - Resolva desigualdades com cuidado (sinal de denominaror, zeros, intervalos) e use uma tabela de sinais quando tiver polinômios/lembretes de fatoração.
- Anote o domínio final em forma de conjunto ou intervalos; isso é raro de errar se seguir as etapas.
Passo 8
Resumo do que eu faria para cada caso que seu professor pedir:
- Anotar
e . - Determinar
e . - Calcular
por substituição. - Exigir que
satisfaça as condições de e que pertença a . - Simplificar a expressão final (sem esquecer de preservar as restrições de domínio).
Resposta
Não é possível determinar
nem o seu domínio porque as funções
e
não foram fornecidas.