Use a definição de módulo para reescrever as funções abaixo e a seguir esboce seu gráfico. f(x)=|x|+|2 x-1|+|x-1|
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Reescrever a função \,f(x)=|x|+|2x-1|+|x-1|\, usando a definição de módulo (ou seja, escrever como função por partes, sem o símbolo |\cdot|).
Em seguida, esboçar o gráfico dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função é soma de três módulos: |x|, |2x-1| e |x-1|.
Os argumentos dos módulos mudam de sinal nos pontos onde cada expressão é zero:
|x| muda de sinal em x=0.
|2x-1| muda de sinal em x=\tfrac{1}{2} (porque 2x-1=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}).
|x-1| muda de sinal em x=1.
Portanto os pontos críticos (onde a expressão dentro de algum módulo pode trocar de sinal) são \,x=0,\;x=\tfrac{1}{2},\;x=1.
Isso divide a reta em quatro intervalos naturais para analisar: \,(-\infty,0],\\ [0,\tfrac{1}{2}],\\ [\tfrac{1}{2},1],\\ [1,\infty).
Passo 2
Lembra da definição de módulo: para qualquer expressão real a\),
\[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que, para reescrever |\cdot|\], temos que verificar o sinal do argumento em cada intervalo e substituir pela forma correta (\(a ou -a). Vamos aplicar isso aos três termos em cada intervalo. Vou explicar devagar, passo a passo, como fazer cada conta — tipo eu fazendo na prova junto com você.]
Passo 3
Intervalo \,x\le 0.
Aqui \,x\le 0 \Rightarrow x é não positivo, então |x| = -x.
Para |2x-1|: se x\le 0 então 2x-1 \le -1 < 0, logo |2x-1| = -(2x-1) = 1-2x.
Para |x-1|: se x\le 0 então x-1 \le -1 <0, logo |x-1| = -(x-1) = 1-x.
Somando:
f(x) = -x + (1-2x) + (1-x).
Agora simplificar somando termos semelhantes:
f(x) = (-x -2x - x) + (1+1) = -4x + 2.
Portanto, para \,x\le 0,
f(x) = 2 - 4x.
Passo 4
Intervalo \,0 \le x \le \tfrac{1}{2}.
Aqui |x| = x (pois x\ge 0).
Como x \le \tfrac{1}{2}, então 2x-1 \le 0, logo |2x-1| = 1-2x.
E x-1 \le -\tfrac{1}{2}<0, logo |x-1| = 1-x.
Somando:
f(x) = x + (1-2x) + (1-x).
Simplificando:
f(x) = (x -2x - x) + (1+1) = -2x + 2.
Portanto, para \,0 \le x \le \tfrac{1}{2},
f(x) = 2 - 2x.
Passo 5
Intervalo \,\tfrac{1}{2} \le x \le 1.
Aqui x\ge \tfrac{1}{2} então 2x-1 \ge 0, logo |2x-1| = 2x-1.
Também x\ge 0 então |x| = x.
E x\le 1 então x-1 \le 0, logo |x-1| = 1-x.
Somando:
f(x) = x + (2x-1) + (1-x).
Simplificando:
f(x) = (x + 2x - x) + (-1+1) = 2x.
Portanto, para \,\tfrac{1}{2} \le x \le 1,
f(x) = 2x.
Passo 6
Intervalo \,x \ge 1.
Aqui x\ge 1 então |x| = x.
Também 2x-1 \ge 1>0 então |2x-1| = 2x-1.
E x-1 \ge 0 então |x-1| = x-1.
Somando:
f(x) = x + (2x-1) + (x-1).
Simplificando:
f(x) = (x + 2x + x) + (-1 -1) = 4x - 2.
Portanto, para \,x \ge 1,
f(x) = 4x - 2.
Passo 7
Juntando tudo: função por partes e verificação de continuidade nas fronteiras.
Escrevendo a função por partes (pegue isso como a reescrita pedida):
f(x)=\begin{cases} 2 - 4x, & x \le 0,\\[4pt] 2 - 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\[4pt] 2x, & \tfrac{1}{2}\le x \le 1,\\[4pt] 4x - 2, & x \ge 1. \end{cases}
Vamos checar rapidamente os valores nos pontos críticos para garantir que não houve erro algébrico e para ajudar no esboço:
Em x=0: pela segunda parte f(0)=2-2\cdot 0=2. Pela primeira parte f(0)=2-4\cdot 0=2. OK.
Em x=\tfrac{1}{2}: pela segunda parte f(\tfrac{1}{2})=2-2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Pela terceira parte f(\tfrac{1}{2})=2\cdot\tfrac{1}{2}=1. OK.
Em x=1: pela terceira parte f(1)=2\cdot 1=2. Pela quarta parte f(1)=4\cdot 1-2=2. OK.
Ou seja, \,f é contínua em todos os pontos, como esperado (soma de módulos).]
Passo 8
Como esboçar o gráfico (receita prática e pontos importantes):
Em cada intervalo f é uma função afim (reta). As inclinações (derivadas à esquerda e à direita) nos intervalos são:
Para x<0: inclinação -4.
Para 0<x<\tfrac{1}{2}: inclinação -2.
Para \tfrac{1}{2}<x<1: inclinação +2.
Para x>1: inclinação +4.
Pontos-chaves para marcar no esboço:
(0,\;2).
\bigl(\tfrac{1}{2},\;1\bigr) — este é o ponto de mínimo global (valor mais baixo da função).
(1,\;2).
Com isso traça-se retas conectando esses pontos com os declives indicados. À esquerda de 0 a reta sobe quando se vai para a esquerda (porque inclinação -4 e x decresce), no trecho entre 0 e \tfrac{1}{2} a reta desce menos acentuadamente, no trecho entre \tfrac{1}{2} e 1 a função sobe com declive 2, e para x>1 sobe mais rápido com declive 4.
Observação de otimização: o menor valor de f é f(\tfrac{1}{2})=1, logo f(x)\ge 1 para todo x.
Resposta
f(x)=\begin{cases} 2 - 4x, & x \le 0,\\[4pt] 2 - 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\[4pt] 2x, & \tfrac{1}{2}\le x \le 1,\\[4pt] 4x - 2, & x \ge 1, \end{cases}
Gráfico: retas ligando os pontos (0,2), \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr), (1,2) com declives -4,\,-2,\,+2,\,+4 nos intervalos (-\infty,0),\\ (0,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},1),\\ (1,\infty) respectivamente; mínimo global em x=\tfrac{1}{2} com f(\tfrac{1}{2})=1.]