Sejam f(x)=2^{x} e g(x)=f(2 x+1), determine uma relação entre a e b para que g(a)=g(b).

Passo 1

O enunciado dá as funções e pede uma relação entre a e b:
  • Foi dado f(x)=2^{x}.
  • Foi dado g(x)=f(2x+1).
  • A pergunta: determinar uma relação entre a e b tal que g(a)=g(b).

Passo 2

Primeiro escrevo g(x) de forma explícita substituindo f:
g(x)=f(2x+1)=2^{\,2x+1}.

Passo 3

Escrevo a condição pedida usando a forma explícita de g:
g(a)=g(b)\quad\Longrightarrow\quad 2^{\,2a+1}=2^{\,2b+1}.

Passo 4

Explico a ideia matemática útil aqui (como faria na prova): a função \,t\mapsto 2^{t}\, é estritamente crescente e injetora no conjunto dos reais, ou alternativamente a função \log_{2} é a inversa de 2^{t}. Assim, aplicando \log_{2} em ambos os lados da igualdade obtida:
\log_{2}\!\bigl(2^{\,2a+1}\bigr)=\log_{2}\!\bigl(2^{\,2b+1}\bigr).
Pelo fato de \log_{2}(2^{u})=u para qualquer real u, isto dá:
2a+1=2b+1.

Passo 5

Agora faço as operações algébricas elementares para simplificar a igualdade obtida:
2a+1=2b+1\quad\Longrightarrow\quad 2a=2b.
Dividindo ambos os lados por 2 vem a relação final entre a e b.

Resposta

a=b

Exercícios relacionados