Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
cos zz

Passo 1

O enunciado pede para, no ponto isolado z=0, encontrar a parte principal da expansão de Laurent de f(z)= cos zz e classificar a singularidade (polo, essencial ou removível). Vamos usar séries de Taylor/Laurent para isso.

Passo 2

Começamos lembrando a série de Taylor de cos z em torno de z=0:
cos z = 1 - z^22! + z^44! - cdots

Passo 3

Agora dividimos termo a termo essa série por z para obter a expansão de Laurent de f(z)=cos zz:
cos zz = 1z - z2! + z^34! - cdots

Passo 4

Na expansão acima, a parte principal (termos com potências negativas de z) é apenas 1z.

Passo 5

Como há apenas um termo singular 1/z, a singularidade em z=0 é um polo simples (polo de ordem 1).

Resposta

Parte principal: tfrac1z. A singularidade em z=0 é um polo simples (de ordem 1).

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