Em cada caso escreva a parte principal da função com relação a sua singularidade isolada. Determine se este ponto é um polo, singularidade essencial ou singularidade removível da função.
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Determine a natureza das singularidades das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para, no ponto isolado z=0, encontrar a parte principal da expansão de Laurent de f(z)=
e classificar a singularidade (polo, essencial ou removível). Vamos usar séries de Taylor/Laurent para isso.
Passo 2
Começamos lembrando a série de Taylor de
em torno de z=0:
Passo 3
Agora dividimos termo a termo essa série por z para obter a expansão de Laurent de
:
Passo 4
Na expansão acima, a parte principal (termos com potências negativas de z) é apenas
.
Passo 5
Como há apenas um termo singular
, a singularidade em z=0 é um polo simples (polo de ordem 1).
Resposta
Parte principal:
. A singularidade em z=0 é um polo simples (de ordem 1).