Em cada caso, estude a posição relativa de r e \pi :
r: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{3} \quad e \quad \pi: X=(-1,3,2)+m(1,-2,1)+n(4,-1,0).

Passo 1

Temos a reta
r:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{3}
e o plano
\pi:\;X = (-1,3,2) + m\,(1,-2,1) + n\,(4,-1,0).
O objetivo é estudar se r é paralelo a \pi, está contido em \pi ou o corta em um ponto (reta secante). Para isso vamos extrair vetores diretores e usar produto escalar com o vetor normal do plano.

Passo 2

Escrevendo a parametrização de r, seja t\in\mathbb{R}:
x = -1 + 2t,\quad y = 3 - 4t,\quad z = 2 + 3t.
O vetor diretor de r é
\mathbf{u} = (2,\,-4,\,3).

Passo 3

No plano \pi os vetores diretores são
\mathbf{a} = (1,-2,1),\quad \mathbf{b} = (4,-1,0).
O vetor normal de \pi é
\mathbf{n} = \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-2&1\\\\ 4&-1&0 \end{vmatrix} = (1,4,7).

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u} = (1,4,7)\cdot(2,-4,3) = 2 -16 +21 = 7 \neq 0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}\neq 0, a reta não é paralela ao plano e nem está contida nele: ela o corta em um único ponto.

Passo 5

Para achar o ponto de interseção igualamos as coordenadas de r\) e de \(\pi\): \[(-1+2t,\;3-4t,\;2+3t) = \bigl(-1 + m + 4n,\;3 - 2m - n,\;2 + m\bigr).
Isto gera o sistema
\begin{cases} -1+2t = -1 + m + 4n,\\\\ 3 - 4t = 3 - 2m - n,\\\\ 2 + 3t = 2 + m. \end{cases}
Da terceira equação vem m=3t\]. Substituindo na segunda: \[3 - 4t = 3 - 2(3t) - n \;\Longrightarrow\; 4t = 6t + n \;\Longrightarrow\; n = -2t.\] Na primeira: \[-1 + 2t = -1 + 3t + 4(-2t) \;\Longrightarrow\; 2t = 3t -8t = -5t \;\Longrightarrow\; 7t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0.\] Logo \(m=0, n=0 e o ponto de interseção é
P = (-1+2\cdot0,\;3-4\cdot0,\;2+3\cdot0) = (-1,3,2).

Resposta

A reta r corta o plano \pi (reta secante) e o ponto de interseção é (-1,3,2).

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