Em cada caso, estude a posição relativa de r e \pi : r: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{3} \quad e \quad \pi: X=(-1,3,2)+m(1,-2,1)+n(4,-1,0).
Passo 1
Temos a reta
r:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{3}
e o plano
\pi:\;X = (-1,3,2) + m\,(1,-2,1) + n\,(4,-1,0).
O objetivo é estudar se r é paralelo a \pi, está contido em \pi ou o corta em um ponto (reta secante). Para isso vamos extrair vetores diretores e usar produto escalar com o vetor normal do plano.
Passo 2
Escrevendo a parametrização de r, seja t\in\mathbb{R}:
Da terceira equação vem m=3t\]. Substituindo na segunda:
\[3 - 4t = 3 - 2(3t) - n \;\Longrightarrow\; 4t = 6t + n \;\Longrightarrow\; n = -2t.\]
Na primeira:
\[-1 + 2t = -1 + 3t + 4(-2t) \;\Longrightarrow\; 2t = 3t -8t = -5t \;\Longrightarrow\; 7t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0.\]
Logo \(m=0, n=0 e o ponto de interseção é
P = (-1+2\cdot0,\;3-4\cdot0,\;2+3\cdot0) = (-1,3,2).
Resposta
A reta r corta o plano \pi (reta secante) e o ponto de interseção é (-1,3,2).