Determine o ângulo entre a reta s: X=(2,0,1)+m(-1,-2,-2) e a reta r definida pelos pontos A=(4,0,-1) e B=(-2,-3,-1).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta \displaystyle s\colon X=(2,0,1)+m(-1,-2,-2)
e a reta que passa por A=(4,0,-1) e B=(-2,-3,-1).
O conteúdo é “ângulo entre retas no espaço” e vamos usar vetores diretores, produto escalar e normas para obter esse ângulo.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das duas retas. Para s, o vetor diretor é
\vec v_s =(-1,-2,-2).
Para a reta que passa por A e B, o vetor diretor é
\vec v_r = B - A = (-2-4,\,-3-0,\,-1-(-1)) = (-6,-3,0).

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre \vec v_s e \vec v_r:
\vec v_s\cdot \vec v_r =(-1)\cdot(-6)+(-2)\cdot(-3)+(-2)\cdot 0 =6+6+0 =12.

Passo 4

Calculamos as normas de cada vetor:
\|\vec v_s\| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} =3,
\|\vec v_r\| = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2+0^2} = \sqrt{36+9+0} =3\sqrt{5}.

Passo 5

O ângulo \theta entre as retas satisfaz
\cos\theta = \frac{\bigl|\vec v_s\cdot \vec v_r\bigr|}{\|\vec v_s\|\;\|\vec v_r\|} = \frac{12}{3\cdot 3\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{4}{3\sqrt{5}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{4}{3\sqrt{5}}\Bigr)\approx 53{,}4^\circ

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