(a) Resolva o sistema linear
(b) Destre as soluções obtidas acima, quais deixam resto 12 na divisão por 13 ?
Passo 1
O enunciado pede, na parte (a), para resolver o sistema de congruências
que é um caso clássico de Teorema Chinês dos Restos para módulos coprimos
e
. Na parte (b) queremos, dentre as soluções da parte (a), aquelas que também satisfazem
Passo 2
Para aplicar o CRT na parte (a), escrevemos
em função de um parâmetro
a partir da primeira congruência:
Substituímos em
:
Como
é invertível módulo
e
, multiplica-se ambos os lados por
:
Logo
para algum
.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Portanto todas as soluções do sistema da parte (a) são
Passo 4
Na parte (b) queremos, além de
, satisfazer
Escrevemos
e impondo a congruência módulo
:
Como
e
, isso vira
Logo
para algum
.
Passo 5
Substituindo
em
, segue
Desse modo as soluções que deixam resto
na divisão por
são
Resposta
(a)
(b) Dentre essas, as que satisfazem são
(b) Dentre essas, as que satisfazem