(a) Resolva o sistema linear
\begin{cases}x \equiv 4 & \bmod 5 \\\ x \equiv 7 & \bmod 8\end{cases}
(b) Destre as soluções obtidas acima, quais deixam resto 12 na divisão por 13 ?

Passo 1

O enunciado pede, na parte (a), para resolver o sistema de congruências
\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{5},\\\ x \equiv 7 \pmod{8}, \end{cases}
que é um caso clássico de Teorema Chinês dos Restos para módulos coprimos 5 e 8. Na parte (b) queremos, dentre as soluções da parte (a), aquelas que também satisfazem
x \equiv 12 \pmod{13}.

Passo 2

Para aplicar o CRT na parte (a), escrevemos x em função de um parâmetro k a partir da primeira congruência:
x = 5k + 4.
Substituímos em x\equiv7\pmod{8}:
5k + 4 \equiv 7 \pmod{8} \quad\Longrightarrow\quad 5k \equiv 3 \pmod{8}.
Como 5 é invertível módulo 8 e 5^{-1}\equiv5\pmod{8}, multiplica-se ambos os lados por 5:
k \equiv 5\cdot3 = 15 \equiv 7 \pmod{8}.
Logo k = 8m + 7 para algum m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Substituindo k=8m+7 em x=5k+4, obtemos
x = 5(8m+7) + 4 = 40m + 35 + 4 = 40m + 39.
Portanto todas as soluções do sistema da parte (a) são
x \equiv 39 \pmod{40}.

Passo 4

Na parte (b) queremos, além de x\equiv39\pmod{40}, satisfazer
x \equiv 12 \pmod{13}.
Escrevemos x = 40m + 39 e impondo a congruência módulo 13:
40m + 39 \equiv 12 \pmod{13}.
Como 40\equiv1\pmod{13} e 39\equiv0\pmod{13}, isso vira
m \equiv 12 \pmod{13}.
Logo m = 13n + 12 para algum n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Substituindo m=13n+12 em x=40m+39, segue
x = 40(13n+12) + 39 = 520n + 480 + 39 = 520n + 519.
Desse modo as soluções que deixam resto 12 na divisão por 13 são
x \equiv 519 \pmod{520}.

Resposta

(a) x \equiv 39 \pmod{40}.
(b) Dentre essas, as que satisfazem x\equiv12\pmod{13} são
x \equiv 519 \pmod{520}.

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