Mostre que as retas abaixo são coplanares não paralelas, determine as coordenadas do ponto de interseção e escreva a equação geral do plano determinado por elas.
r:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 m \\\ y=2+m \\\ z=5-3 m\end{array} \quad\right. e \quad s: \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{2}=\frac{-z-1}{-4}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r:\;x=-1+2m,\;y=2+m,\;z=5-3m
e
s:\;\frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{2}=\frac{-z-1}{-4}.
Queremos mostrar que elas são coplanares (mas não paralelas), achar o ponto de interseção e determinar a equação geral do plano que as contém.

Passo 2

Escrevendo s em forma paramétrica, seja n esse parâmetro:
\frac{x-3}{-2}=n,\quad\frac{y-4}{2}=n,\quad\frac{-z-1}{-4}=n
x=3-2n,\quad y=4+2n,\quad z=4n-1.
Assim os vetores diretores são
\vec d_r=(2,\,1,\,-3), \qquad \vec d_s=(-2,\,2,\,4).
Como não existe escalar \lambda tal que (2,1,-3)=\lambda(-2,2,4), as retas não são paralelas.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção procuramos m,n tais que
(-1+2m,\,2+m,\,5-3m)=(3-2n,\,4+2n,\,4n-1).
Das duas primeiras coordenadas:
-1+2m=3-2n\quad\Longrightarrow\quad m+n=2,
2+m=4+2n\quad\Longrightarrow\quad m-2n=2.
Resolvendo esse sistema vem n=0 e m=2. Verificando na terceira coordenada:
5-3\cdot2=-1, \quad 4\cdot0-1=-1,
confirma interseção. Logo o ponto é
P=(3,\,4,\,-1).

Passo 4

Como as retas se intersectam, elas são coplanares. Para achar o plano usamos como vetores do plano \vec d_r e \vec d_s e ponto P. O vetor normal é
\vec n=\vec d_r\times\vec d_s =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&1&-3\\\\ -2&2&4 \end{pmatrix} =(10,\,-2,\,6).
Podemos simplificar para (5,\,-1,\,3).

Passo 5

A equação geral do plano passando por P=(3,4,-1) com normal (5,-1,3) é
5(x-3)-1(y-4)+3(z+1)=0
que se expande para
5x - y + 3z - 8 = 0.

Resposta

As retas são coplanares e não paralelas.
O ponto de interseção é (3,4,-1).
A equação geral do plano que as contém é
5x - y + 3z - 8 = 0.

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