Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
r: \frac{x-1}{-1}=\frac{3 y-6}{4}=\frac{-3 z+3}{2} e s:\left\{\begin{array}{l}x=4+6 m \\\ y=1-8 m \\\ z=2+4 m\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre duas retas no espaço:
r: \frac{x-1}{-1}=\frac{3y-6}{4}=\frac{-3z+3}{2}\) s: \(\displaystyle\begin{cases}x=4+6m\y=1-8m\z=2+4m\end{cases}
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos escrever cada reta em forma paramétrica, extrair um ponto e um vetor diretor, verificar se os vetores diretores são proporcionais (para checar paralelismo ou coincidência) e, se forem paralelos, ver se coincidem ou não testando a condição de pertencimento de um ponto.

Passo 2

Escrevendo r em forma paramétrica, tomo
t=\frac{x-1}{-1}\implies x=1-t.
Também
t=\frac{3y-6}{4}\implies3y-6=4t\implies y=2+\frac{4}{3}t,
t=\frac{-3z+3}{2}\implies-3z+3=2t\implies z=1-\frac{2}{3}t.
Logo, em r podemos usar
P_r=(1,2,1),\quad \vec v_r=\bigl(-1,\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).
Multiplicando por 3 para vetor inteiro, fica \vec v_r=(-3,4,-2).

Passo 3

Na reta s já está em forma paramétrica:
P_s=(4,1,2),\quad \vec v_s=(6,-8,4).
Note que \vec v_s=2\,(3,-4,2) e \vec v_r=(-3,4,-2)=-1\,(3,-4,2).

Passo 4

Como \vec v_s e \vec v_r são proporcionais \vec v_s=-2\,\vec v_r, as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 5

Para distinguir, verifico se P_s está em r: busco t tal que
1-t=4\implies t=-3.
Nesse t,
y=2+\tfrac{4}{3}(-3)=2-4=-2\neq1,
logo P_s\notin r. Portanto as retas são paralelas distintas.

Resposta

As retas r e s são paralelas e não se intersectam.

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