Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(c) L do P_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo é gerado por 1-t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear \,L\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R})
que seja diagonalizável e tal que \ker(L)=\operatorname{Span}\{\,1-t^{2}\}.
Para resolver, vamos escolher uma base de P_{2}(\mathbb{R}) formada por autovetores de L, de modo que a matriz de L nessa base seja diagonal e o autovalor zero corresponda exatamente ao vetor 1-t^{2}.

Passo 2

Definimos três vetores em P_{2}(\mathbb{R}) mutuamente independentes:
v_{1}=1-t^{2},\quad v_{2}=t,\quad v_{3}=1.
Como P_{2}(\mathbb{R}) é de dimensão 3, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base.

Passo 3

Na base B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, mandamos
L(v_{1})=0,\quad L(v_{2})=1\cdot v_{2},\quad L(v_{3})=2\cdot v_{3}.
Isto define L linearmente em todo P_{2}(\mathbb{R}), e escolhemos \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=2 para ter três autovalores distintos 0,1,2.

Passo 4

Na base B, a matriz de L é
[L]_{B}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que é claramente diagonal. Logo L é diagonalizável, pois já está escrita em forma diagonal.

Passo 5

O núcleo de L é o espaço próprio associado ao autovalor 0. Como apenas v_{1} gera essa linha de zeros,
\ker(L)=\{\,a\,v_{1}\mid a\in\mathbb{R}\} =\operatorname{Span}\{\,1-t^{2}\},
conforme exigido.

Resposta

Um exemplo concreto é definir
L(1-t^{2})=0,\quad L(t)=t,\quad L(1)=2\cdot1
e estender linearmente. Esse L é diagonalizável (matriz diagonal \mathrm{diag}(0,1,2)) e satisfaz \ker(L)=\operatorname{Span}\{1-t^{2}\}.

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