Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de operadores lineares “diagonalizáveis” tais que:
(c) L do P_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo é gerado por 1-t^{2}.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear \,L\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R})
que seja diagonalizável e tal que \ker(L)=\operatorname{Span}\{\,1-t^{2}\}.
Para resolver, vamos escolher uma base de P_{2}(\mathbb{R}) formada por autovetores de L, de modo que a matriz de L nessa base seja diagonal e o autovalor zero corresponda exatamente ao vetor 1-t^{2}.
Passo 2
Definimos três vetores em P_{2}(\mathbb{R}) mutuamente independentes:
v_{1}=1-t^{2},\quad v_{2}=t,\quad v_{3}=1.
Como P_{2}(\mathbb{R}) é de dimensão 3, \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base.