Em cada caso, dê exemplos, quando possível, de transformações lineares tais que:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com \operatorname{Im}(T)=\{(x, y, z) ; z+x=0\}

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
cuja imagem seja o plano dado por
\Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z+x=0\}.
Estamos em Álgebra Linear, usando o conceito de subespaço imagem e a construção de uma aplicação linear via sua ação em uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Observe que
\{(x,y,z)\mid z+x=0\}=\{(x,y,-x)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
é um subespaço de dimensão 2, com base natural
u=(1,0,-1),\quad v=(0,1,0),
pois qualquer vetor do plano é x\,u+y\,v.

Passo 3

Para definir T basta especificar imagens dos vetores da base canônica \,e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Escolhemos
T(e_1)=u=(1,0,-1),\quad T(e_2)=v=(0,1,0),\quad T(e_3)=0.
Isso garante que \Im(T)=\operatorname{span}\{u,v\}.

Passo 4

Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 escrevemos
(x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3
e, pela linearidade,
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) =(x,\,y,\,-x).
Claramente (x,y,-x) satisfaz -x+x=0 e todo vetor do plano \{z+x=0\} aparece assim.

Resposta

Por exemplo, defina
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x,\,y,\,-x).
A matriz de T na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e satisfaz \Im(T)=\{(x,y,z)\mid z+x=0\}.

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