Determine um operador linear de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) cuja imagem tenha dimensão 2 .

Passo 1

O enunciado pede um operador linear \displaystyle T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R})
cuja imagem tenha dimensão 2. Sabemos que \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, então queremos que \dim\bigl(\Im T\bigr)=2.

Passo 2

Para construir um T com \dim(\Im T)=2, basta projetar cada matriz em um subespaço bidimensional. Seja
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}.
Definimos
T(A)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix}.

Passo 3

Verificamos linearidade de T. Se A,B\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}, então
T(A+B) =\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix} =T(A)+T(B),
T(\lambda A) =\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix} =\lambda\,T(A).
Logo, T é linear.

Passo 4

Determinamos a imagem de T. Todo elemento de \Im T tem a forma
\begin{pmatrix}x&y\\\ 0&0\end{pmatrix} =x\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Como \{E_{11},E_{12}\} é um conjunto linearmente independente, concluímos
\Im T = \Span\{E_{11},E_{12}\},
portanto \dim(\Im T)=2.

Resposta

Definindo
T\bigl(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\bigr) =\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ 0&0\end{pmatrix},
obtém-se um operador linear com \dim(\Im T)=2.

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