Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial
indicado e determine
.
é o espaço das matrizes
, triangular superior (uma matriz
é triangular superior quando
, se
.
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do espaço vetorial
formado pelas matrizes
que são triangulares superiores (isto é, cujo elemento
sempre que saímos da diagonal para cima). Vamos lembrar que um espaço de matrizes é gerado pelas matrizes canônicas
que têm um “1” na posição
e zeros em todo o resto.
Passo 2
Qualquer matriz
é completamente determinada pelos seus elementos na diagonal e acima dela, pois acima da diagonal (quando
) temos
. Isso significa que os únicos graus de liberdade são os coeficientes
com
.
Passo 3
Logo, uma base natural de
onde tem um único “1” na posição
e zeros nos demais lugares, e só usamos aqueles
que estão na diagonal ou acima dela.
Passo 4
Para determinar
, basta contar quantos pares
satisfazem
. Esse número é
Resposta
Uma base de
é
e