Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial V indicado e determine dim V.
V é o espaço das matrizes n times n, triangular superior (uma matriz A= (ai j)n times n é triangular superior quando ai j=0, se i<j).

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do espaço vetorial V formado pelas matrizes ntimes n que são triangulares superiores (isto é, cujo elemento aij=0 sempre que saímos da diagonal para cima). Vamos lembrar que um espaço de matrizes é gerado pelas matrizes canônicas Eij que têm um “1” na posição (i,j) e zeros em todo o resto.

Passo 2

Qualquer matriz A=(aij)in V é completamente determinada pelos seus elementos na diagonal e acima dela, pois acima da diagonal (quando i>j) temos aij=0. Isso significa que os únicos graus de liberdade são os coeficientes aij com 1<= i<= j<= n.

Passo 3

Logo, uma base natural de
onde tem um único “1” na posição e zeros nos demais lugares, e só usamos aqueles que estão na diagonal ou acima dela.

Passo 4

Para determinar dim V, basta contar quantos pares (i,j) satisfazem 1<= i<= j<= n. Esse número é
sumi=1^nl(número de j tais que i<= j<= nr) =sumi=1^n(n-i+1) =sumk=1^nk =n(n+1)2 ú

Resposta

Uma base de V é
,Eijmid1<= i<= j<= n,
e
dim V=n(n+1)2

Exercícios relacionados