Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial V indicado e determine dim V.
V é o espaço das matrizes A=(ai j), de ordem 2 times 2, tais que a11=a21 e a12=a11+a22.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão de
V=A=(aij)in M2times2(R)mid a21=a11,;a12=a11+a22.
Aqui o conteúdo é o estudo de subespaços de matrizes, e vamos usar a ideia de parametrizar as entradas sujeitas às condições dadas.

Passo 2

Denotemos
A = a11 & a12 a21 & a22
As condições são a21=a11 e a12=a11+a22. Logo só restam livres as variáveis
alpha = a11 e de<a = a22.

Passo 3

Escrevendo a12 e a21 em função de alpha e de<a, temos
A = alpha & alpha+de<a alpha & de<a = alpha 1 & 1 1 & 0 + de<a 0 & 1 0 & 1

Passo 4

Isso mostra que todo Ain V é combinação linear de
M = 1 & 11 & 0, N = 0 & 10 & 1
É fácil ver que M e N são linearmente independentes. Portanto
M,N é uma base de V.

Resposta

Uma base de V é
1 & 11 & 0, 0 & 10 & 1
e dim V = 2.

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