Most re que beta=(0,2,2),(0,4,1) é uma base do subespaço W=(x, y, z) in R^3: x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que beta=(0,2,2),(0,4,1) é uma base do subespaço
W=(x,y,z)inR^3: x=0
Como W é formado por vetores do tipo (0,y,z), sabemos que dim W=2. Para provar que beta é base, precisamos duas coisas:
  1. Que os vetores de beta são linearmente independentes.
  2. Que eles geram todo W.

Passo 2

Verificamos a independência linear de beta. Suponha
a,(0,2,2)+b,(0,4,1)=(0,0,0)
Isso dá as equações
2a+4b=0 e 2a+b=0.
Da segunda obtemos b=-2a. Substituindo na primeira vem
2a+4(-2a)=2a-8a=-6a=0;Longrightarrow;a=0;Longrightarrow;b=0
Como só a solução trivial aparece, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora mostramos que beta gera W. Seja (0,y,z)in W. Queremos a,b tais que
a,(0,2,2)+b,(0,4,1)=(0,y,z)
Isso equivale a
2a+4b=y e 2a+b=z.
Da segunda vem 2a=z-b, ou a=(z-b)/2. Substituindo na primeira:
2l(tfracz-b2r)+4b = z-b+4b = z+3b = y ;Longrightarrow;b=y-z3,
e então
a=z - tfracy-z32=4z - y6
Como conseguimos expressar a e b para todo (0,y,z), beta gera W.

Passo 4

Concluímos que beta é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram W, e como dim W=2, beta é base de W.

Resposta

beta=(0,2,2),(0,4,1) é base de W=(x,y,z)inR^3: x=0.

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