Most re que
é uma base do subespaço
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base do subespaço
Como
é formado por vetores do tipo
, sabemos que
. Para provar que
é base, precisamos duas coisas:
- Que os vetores de
são linearmente independentes. - Que eles geram todo
.
Passo 2
Verificamos a independência linear de
. Suponha
Isso dá as equações
e
.
Da segunda obtemos . Substituindo na primeira vem
Da segunda obtemos
Como só a solução trivial aparece, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora mostramos que
gera
. Seja
. Queremos
tais que
Isso equivale a
e
.
Da segunda vem , ou
. Substituindo na primeira:
Da segunda vem
e então
Como conseguimos expressar
e
para todo
,
gera
.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram
, e como
,
é base de
.