Se
é um conjunto gerador de
, mostre que os vetores
são LD, seja qual for o vetor
do espaço
.
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto gerador
de um espaço vetorial
e pede para mostrar que, ao adicionar qualquer vetor
, o novo conjunto
é sempre linearmente dependente. Vamos usar a definição de conjunto gerador (span) e a definição de dependência linear.
é sempre linearmente dependente. Vamos usar a definição de conjunto gerador (span) e a definição de dependência linear.
Passo 2
Como
gera
, todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de
. Em particular, existem escalares
tais que
Passo 3
Colocando todos os termos no mesmo lado da igualdade, obtemos uma combinação linear que zera:
Nesse somatório, o coeficiente de
é
, logo nem todos os coeficientes são zero. Isso é exatamente uma relação não trivial de dependência linear envolvendo
.
Passo 4
Pela definição, a existência de uma combinação linear não trivial que dá zero implica que o conjunto
é linearmente dependente.
é linearmente dependente.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes.