Se S=v1, v2, ldots, vn é um conjunto gerador de V, mostre que os vetores v1, v2, ldots, vn, v são LD, seja qual for o vetor v do espaço V.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto gerador
;S=v1,v2,dots,vn de um espaço vetorial V e pede para mostrar que, ao adicionar qualquer vetor vin V, o novo conjunto
v1,v2,dots,vn,v
é sempre linearmente dependente. Vamos usar a definição de conjunto gerador (span) e a definição de dependência linear.

Passo 2

Como S gera V, todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de v1,dots,vn. Em particular, existem escalares a1,a2,dots,an tais que
v = a1v1 + a2v2 + cdots + anvn

Passo 3

Colocando todos os termos no mesmo lado da igualdade, obtemos uma combinação linear que zera:
(-a1),v1 + (-a2),v2 + cdots + (-an),vn ;+; 1cdot v ;=; 0
Nesse somatório, o coeficiente de v é 1, logo nem todos os coeficientes são zero. Isso é exatamente uma relação não trivial de dependência linear envolvendo v1,dots,vn,v.

Passo 4

Pela definição, a existência de uma combinação linear não trivial que dá zero implica que o conjunto
v1,v2,dots,vn,v
é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores v1,v2,dots,vn,v são linearmente dependentes.

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