No espaço F das funções f: R R, mostre que os seguintes pares de funções são LI:
t, t^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções ,f1(t)=t e ,f2(t)=t^3 são linearmente independentes no espaço F de todas as funções RtoR. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de funções é LI se a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear geral dessas duas funções e impomos que ela seja a função zero:
c1,f1(t) ;+; c2,f2(t);=;0,forall,tinR
Isto é,
c1,t ;+; c2,t^3 ;=; 0,forall,t
O lado esquerdo é o polinômio
p(t)=c2,t^3 + c1,t

Passo 3

Um polinômio que é identicamente zero em todos os t tem todos os coeficientes iguais a zero. No nosso caso, os coeficientes de p(t) são:
  • coeficiente de t^3: c2,
  • coeficiente de t: c1,
  • coeficiente de t^2 e termo constante: 0.
    Como p(t)equiv0, devemos ter
c2 = 0 e c1 = 0
Não existe outra escolha de (c1,c2) que anule p(t) para todo t.

Resposta

As únicas constantes que satisfazem c1,t + c2,t^3=0 para todo t são c1=0 e c2=0. Logo, as funções t e t^3 são linearmente independentes.

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