No espaço
das funções
, mostre que os seguintes pares de funções são LI:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço
de todas as funções
. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de funções é LI se a única combinação linear que dá a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Escrevemos uma combinação linear geral dessas duas funções e impomos que ela seja a função zero:
Isto é,
O lado esquerdo é o polinômio
Passo 3
Um polinômio que é identicamente zero em todos os
tem todos os coeficientes iguais a zero. No nosso caso, os coeficientes de
são:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
e termo constante: .
Como, devemos ter
Não existe outra escolha de
que anule
para todo
.
Resposta
As únicas constantes que satisfazem
para todo
são
e
. Logo, as funções
e
são linearmente independentes.