Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
a função dada por
.
Passo 1
O enunciado apresenta a aplicação
e pede:
i) verificar que é linear;
ii) encontrar base e dimensão de e de
;
iii) decidir se é isomorfismo.
i) verificar que
ii) encontrar base e dimensão de
iii) decidir se
Passo 2
Para mostrar que
é linear basta escrever
o que é uma combinação linear das coordenadas
. Logo, para quaisquer
,
e escalar
, vale
portanto
é transformação linear.
Passo 3
Para achar
resolvemos
(polinômio nulo), isto é, equacionamos coeficientes:
constante: ,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
De e
vem
, logo
e
. Assim
constante:
coeficiente de
coeficiente de
De
a base do núcleo é o conjunto vazio e
Passo 4
Para a imagem, basta ver as imagens dos vetores da base canônica:
Mostra-se facilmente que esses três polinômios são linearmente independentes, logo formam uma base de
. Assim
Observando que
(dimensão 4),
não é sobrejetora.
Passo 5
Como
,
é injetora; mas não é sobrejetora, pois
. Portanto
não é isomorfismo entre
e
.
Resposta
i)
é linear.
ii) , base do núcleo
,
.
,
.
iii) não é isomorfismo.
ii)
iii)