Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
F: R^3 P3(R) a função dada por F(x, y, z)=z+(y-x) t+(x+y) t^3.

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
F:R^3to P3(R), F(x,y,z)=z+(y-x),t+(x+y),t^3,
e pede:
i) verificar que F é linear;
ii) encontrar base e dimensão de ker F e de Im F;
iii) decidir se F é isomorfismo.

Passo 2

Para mostrar que F é linear basta escrever
F(x,y,z) = xl(-t+t^3r)+yl(t+t^3r)+zcdot1,
o que é uma combinação linear das coordenadas x,y,z. Logo, para quaisquer (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) e escalar lambda, vale
Fl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) =F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2),
Fl(lambda(x,y,z)r) =lambda,F(x,y,z),
portanto F é transformação linear.

Passo 3

Para achar ker F resolvemos F(x,y,z)=0 (polinômio nulo), isto é, equacionamos coeficientes:
constante: ;z=0,
coeficiente de t: ;y-x=0implies y=x,
coeficiente de t^3: ;x+y=0.
De y=x e x+y=0 vem 2x=0implies x=0, logo y=0 e z=0. Assim
ker F=(0,0,0),
a base do núcleo é o conjunto vazio e
dimker F=0

Passo 4

Para a imagem, basta ver as imagens dos vetores da base canônica:
F(1,0,0)=-t+t^3, F(0,1,0)=t+t^3, F(0,0,1)=1
Mostra-se facilmente que esses três polinômios são linearmente independentes, logo formam uma base de Im F. Assim
Im F=lang<=,1,;-t+t^3,;t+t^3rang<=,
dimIm F=3
Observando que Im Fsubset P3(R) (dimensão 4), F não é sobrejetora.

Passo 5

Como ker F=0, F é injetora; mas não é sobrejetora, pois dimIm F=3<4=dim P3(R). Portanto F não é isomorfismo entre R^3 e P3(R).

Resposta

i) F é linear.
ii) ker F=(0,0,0), base do núcleo =emptyset, dimker F=0.
Im F=lang<=,1,,-t+t^3,,t+t^3rang<=, dimIm F=3.
iii) F não é isomorfismo.

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