Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo. a função dada por .
Passo 1
O enunciado pede para a aplicação
(i) mostrarmos que é linear; (ii) encontrarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem ; (iii) decidirmos se é um isomorfismo.
Passo 2
Para verificar que é uma transformação linear, tomemos e . Então
Logo, é linear.
Passo 3
O núcleo é dado por
isto é, o espaço das matrizes simétricas
Uma base natural de é
logo .
Passo 4
Para a imagem note que, para todo ,
é sempre uma matriz antissimétrica, pois
Reciprocamente, dada qualquer matriz antissimétrica
podemos escrever Y=Gl(tfrac12Yr). Portanto
ImG =l0 & alpha -alpha&0r,
tem base
0&1-1&0
e dimImG=1.
Passo 5
Como ker Gneq0, G não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo (já que em dimensão finita injeção equivale a isomorfismo apenas se o núcleo for trivial).
Resposta
(i) G é linear.
(ii) ker G=X=X^ t tem base 1&00&0, 0&11&0, 0&00&1
e dimker G=3. ImG=X=-X^ t tem base 0&1-1&0
e dimImG=1.
(iii) G não é isomorfismo.