Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
G: M2(R) M2(R) a função dada por G(X)=X-X^t.

Passo 1

O enunciado pede para a aplicação
Gcolon M2(R)to M2(R), G(X)=X-X^ t
(i) mostrarmos que G é linear; (ii) encontrarmos uma base e a dimensão do núcleo ker G e da imagem ImG; (iii) decidirmos se G é um isomorfismo.

Passo 2

Para verificar que G é uma transformação linear, tomemos X,Yin M2(R) e lambdainR. Então
G(X+Y)=(X+Y)-(X+Y)^ t=X-X^ t+Y-Y^ t=G(X)+G(Y),
G(lambda X)=lambda X-(lambda X)^ t=lambda X-lambda X^ t =lambdal(X-X^ tr)=lambda,G(X)
Logo, G é linear.

Passo 3

O núcleo é dado por
isto é, o espaço das matrizes simétricas
Uma base natural de é
logo .

Passo 4

Para a imagem note que, para todo X,
G(X) = X - X^ t
é sempre uma matriz antissimétrica, pois
l(G(X)r)^ t= (X-X^ t)^ t =X^ t-X= -l(X-X^ tr)=-G(X)
Reciprocamente, dada qualquer matriz antissimétrica
Y=0 & alpha -alpha&0,
podemos escrever Y=Gl(tfrac12Yr). Portanto
ImG =l0 & alpha -alpha&0r,
tem base
0&1-1&0
e dimImG=1.

Passo 5

Como ker Gneq0, G não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo (já que em dimensão finita injeção equivale a isomorfismo apenas se o núcleo for trivial).

Resposta

(i) G é linear.
(ii)
ker G=X=X^ t tem base
1&00&0,
0&11&0,
0&00&1
e dimker G=3.
ImG=X=-X^ t tem base
0&1-1&0
e dimImG=1.
(iii) G não é isomorfismo.

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